Groupe de lacets

En mathématiques, un groupe de lacets (loop group en anglais) est un groupe composé de lacets dans un groupe topologique $G$ .

Définition[modifier | modifier le code]

Dans sa forme la plus générale, un groupe de lacets est un groupe d'applications continues d'une variété $M$ dans un groupe topologique $G$ .

Plus précisément^[1], soit $M = S 1$ , le cercle dans le plan complexe, et soit $LG$ désignant l'espace des applications continues $S 1 \to G$ , c'est-à-dire

LG=\left\{\gamma :S^{1}\to G|\gamma \in C\left(S^{1},G\right)\right\},

muni de la topologie compacte-ouverte. Un élément de $LG$ est un lacet de $G$ . La multiplication point par point de lacets donne à $LG$ la structure d'un groupe topologique.

L'espace $LG$ est appelé groupe libre de lacets sur $G$ . Un groupe de boucles désigne n'importe quel sous-groupe du groupe libre $LG$ .

Exemples[modifier | modifier le code]

Un exemple important de groupe de lacets est le groupe $ΩG$ des lacets pointés sur $G$ . Par définition, c'est le noyau du morphisme $e_{1}:LG\to G,\gamma \mapsto \gamma (1)$ , et est donc un sous-groupe distingué fermé de $LG$ . (Ici, $e 1$ est le morphisme qui envoie à un lacet sa valeur à $1\in S^{1}$ .) Notez que nous pouvons plonger $G$ dans $LG$ en tant que sous-groupe des lacets constantes. Par conséquent, nous obtenons une suite exacte courte :

1\to \Omega G\to LG\to G\to 1.

Des groupes de boucles ont été utilisés pour expliquer le phénomène des transformations de Bäcklund dans les équations du soliton par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck^[2].

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Bäuerle et de Kerf 1997
↑ (en)Geometry of Solitons par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Loop group » (voir la liste des auteurs).

G.G.A Bäuerle et E.A. de Kerf, Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics, vol. 7, North-Holland, coll. « Studies in mathematical physics », 1997 (ISBN 978-0-444-82836-1, lire en ligne )
Andrew Pressley et Graeme Segal, Loop groups, New York, Oxford University Press, coll. « Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications », 1986 (ISBN 978-0-19-853535-5, MR 0900587, lire en ligne)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Portail de l’algèbre

[1] Bäuerle et de Kerf 1997

[2] (en)Geometry of Solitons par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck

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