Hinfini

Dans la théorie de la commande dans le domaine de l'automatique, la synthèse Hinfini ou H_∞ est une méthode qui sert à la conception de commandes optimales.

Présentation[modifier | modifier le code]

La synthèse H_∞ est une méthode qui sert à la conception de commandes optimales. Il s'agit essentiellement d'une méthode d'optimisation, qui prend en compte une définition mathématique des contraintes en ce qui concerne le comportement attendu en boucle fermée. La commande Hinfini a pour principal avantage la capacité d'inclure dans un même effort de synthétisation les concepts liés à la commande classique et à la commande robuste.

Le mot « optimal » est utilisé dans son sens strictement mathématique car la commande synthétisée est celle qui minimisera l'effet des entrées/sorties du système, ce qui peut être vu comme "non optimal" par les opérateurs (l'optimisation étant relative à l'objectif recherché).

Le « infini » dans Hinfini signifie que ce type de commande est conçu pour imposer des restrictions de type minimax au sens de la théorie de la décision (minimiser la perte maximale possible) dans le domaine fréquentiel. La norme Hinfini d'un système dynamique est l'amplification maximale que le système peut exercer sur l'énergie du signal d'entrée. Dans le cas d'un système MIMO, ceci équivaut au maximum de la plus grande valeur singulière du système, ce qui, dans le cas SISO, se traduit par la valeur maximale de l'amplitude de sa réponse fréquentielle.

Formulation du problème[modifier | modifier le code]

Considérant le système représenté par la forme standard suivante:

Le système P possède deux entrées:

w représente les entrées extérieures, notamment le vecteur de consigne de commande, les perturbations et les bruits,
u représente le vecteur de commande ;

et deux sorties :

z les sorties à optimiser pour avoir un bon comportement de la commande
v les mesures disponibles utilisées par le contrôleur pour calculer la commande.

Toutes ces données sont d’une façon générale des vecteurs et P et K sont des matrices.

Le système précédent peut s’écrire sous la forme:

{\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}

u=\mathbf {K} (s)\,v

Il est alors possible d’exprimer la relation entre z et w par:

z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w

Où $F_{\ell }$ est appelé la ‘’Transformation Linéaire Fractionnaire’’ (LFT) définie par:

F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}

L’objectif de la synthèse ${\mathcal {H}}_{\infty }$ est de trouver le contrôleur $\mathbf {K}$ tel que la norme ${\mathcal {H}}_{\infty }$ de $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )$ soit minimum. La norme ${\mathcal {H}}_{\infty }$ de la matrice de fonctions de transfert $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )$ est définie par:

||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))

où ${\bar {\sigma }}$ est la valeur singulière maximale de la matrice $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )$ .

Il existe plusieurs méthodes permettant le calcul et l’optimisation de la norme ${\mathcal {H}}_{\infty }$ :

méthode basée sur la résolution des équations de Riccati ;
méthode(s) basée sur les Inégalités matricielles linéaires ;
méthode utilisant la paramétrisation de Youla.

Applications[modifier | modifier le code]

La synthèse de commande ${\mathcal {H}}_{\infty }$ est depuis le début des années 2000 utilisée dans le cadre du contrôle de structures flexibles des systèmes spatiaux comme les satellites ^[1] ou les lanceurs^[2]. Ces systèmes possèdent des modes de flexions proches de la bande passante du contrôleur et dont les caractéristiques sont incertaines (fréquence, gain, amortissement). La méthode ${\mathcal {H}}_{\infty }$ permet de garantir théoriquement une certaine robustesse de la stabilité du système (via la marge de module) tout en assurant les performances de réjection de perturbation.

Sur Ariane 5, le pilotage basé ${\mathcal {H}}_{\infty }$ a ainsi permis de garantir la stabilité du lanceur tout en optimisant la commande de braquage de la tuyère, faisant économiser plusieurs centaines de kilos sur le liquide hydraulique de commande^[3].

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

↑ H-infinity control for Telecommunication Satellites, C. Philippe, ESA,[1]
↑ Pilotage Robuste des Lanceurs, B. Clément, CNES, [2]
↑ Le Prix Alkan 2000 attribué pour un nouveau système de pilotage d'Ariane 5, Article Futura science du 11 février 2002

Références[modifier | modifier le code]

Daniel Alazard et al, Robustesse et Commande Optimale, Toulouse, Cepadues, 1999, 348 p. (ISBN 2-85428-516-6)
Gilles Duc et Stéphane Font, Commande Hinfini et mu-analyse -- des outils pour la robustesse, Paris, Hermès-Science, 1999, 121 p. (ISBN 2-7462-0041-4)

Liens externes[modifier | modifier le code]

Portail de l’électricité et de l’électronique

[1] H-infinity control for Telecommunication Satellites, C. Philippe, ESA,[1]

[A5-2] Pilotage Robuste des Lanceurs, B. Clément, CNES, [2]

[3] Le Prix Alkan 2000 attribué pour un nouveau système de pilotage d'Ariane 5, Article Futura science du 11 février 2002

[1]

[2]

[3]

v · m Automatique
Régulation	Consigne Régulateur PID Commande prédictive Commande par retour d'état Commande LQG Commande optimale Contrôleur flou
Types de stabilité	Stabilité de Liapounov Stabilité EBSB
Représentations mathématiques	Représentation d'état Fonction de transfert Transformée en Z Transformée de Laplace Transformée bilatérale de Laplace
Représentations graphiques	Diagramme de Nyquist Diagramme de Bode Diagramme de Black
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