Moment linéaire

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Le moment linéaire ou impulsion est, en mécanique analytique, le moment conjugué d'une variable d'espace linéaire (par opposition aux variables d'espace angulaires)^{[style à revoir]}. Cette notion, utilisée aussi en mécanique quantique, coïncide la plupart du temps avec celle de quantité de mouvement.

Mécanique analytique[modifier | modifier le code]

Définition en mécanique analytique[modifier | modifier le code]

En mécanique analytique, le moment conjugué $p_{i}$ (aussi appelé impulsion généralisée) de la coordonnée généralisée $q_{i}$ est donné par la formule^[1] :

p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}

Ce moment conjugué est appelé moment linéaire (ou impulsion) lorsque les coordonnées généralisées

q_{i}

correspondent aux coordonnées cartésiennes.

Mécanique quantique[modifier | modifier le code]

En mécanique quantique, l'opérateur impulsion ${\hat {\vec {P}}}$ permet d'obtenir les valeurs possibles de l'impulsion d'une particule. Il se décompose en trois opérateurs : ${\hat {P_{x}}}$ , ${\hat {P_{y}}}$ , ${\hat {P_{z}}}$ . Plus exactement, les valeurs possibles des composantes de l'impulsion sont données par les valeurs propres des opérateurs ${\hat {P_{i}}}$ .

Définition en mécanique quantique[modifier | modifier le code]

En représentation position, l'opérateur impulsion peut être mis sous la forme ${\hat {\vec {P}}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}$ où ${\vec {\nabla }}$ est l'opérateur gradient et $\hbar$ est la constante de Planck réduite.

L'opérateur impulsion ${\hat {\vec {P}}}$ peut être défini de cette manière à partir de l'opérateur position ${\hat {\vec {R}}}$ et des relations de commutation canoniques^[2] :

{\begin{cases}\left[{\hat {R}}_{j},{\hat {P}}_{k}\right]=i\hbar \delta _{jk}{\hat {1}}\\\left[{\hat {P}}_{j},{\hat {P}}_{k}\right]=0\\\left[{\hat {R}}_{j},{\hat {R}}_{k}\right]=0\end{cases}}j,k=x,~y,~z

Le principe de correspondance consiste à identifier les crochets de Poisson

{q j, p k} = δ jk

en mécanique hamiltonienne aux commutateurs

\left[{\hat {R}}_{j},{\hat {P}}_{k}\right]=i\hbar \delta _{jk}{\hat {1}}

en mécanique quantique.

Principe d'indétermination[modifier | modifier le code]

Intuitivement, le commutateur de deux observable permet de quantifier à quel point les grandeurs associées sont mesurables simultanément. Les relations de commutation canoniques impliquent que les commutateurs $\left[{\hat {R}}_{j},{\hat {P}}_{j}\right]=i\hbar {\hat {1}}$ , où $\textstyle {\hat {1}}$ est l'opérateur identité, ne sont pas nuls^[a], et donc que les grandeurs associées ne peuvent pas être déterminées simultanément avec une précision arbitraire. C'est ce qu'on appelle le principe d'indétermination de Heisenberg, formalisé par les inégalités de Heisenberg^[3] :

\sigma _{R_{j}}\sigma _{P_{j}}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}

Où $\sigma _{R_{j}}$ et $\sigma _{P_{j}}$ sont respectivement l'écart-type sur la position et l'écart-type sur l'impulsion.

Conséquences[modifier | modifier le code]

La principale conséquence du principe d'indétermination est qu'en mécanique quantique on ne peut pas associer une trajectoire bien définie à une particule. Cependant, il existe des interprétations alternatives de la mécanique quantique qui permettent de définir de telles trajectoires en proposant une autre définition de l'opérateur impulsion. Ces théories — dont la théorie de de Broglie-Bohm fait partie — sont très peu connues et déconsidérées par les physiciens.

Conservation de l'impulsion[modifier | modifier le code]

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Distinction entre impulsion et quantité de mouvement[modifier | modifier le code]

L'impulsion est égale à la quantité de mouvement lorsque les forces appliquées à la particule dérivent d'une énergie potentielle.

Exemple :

Dans le cas d'une particule (sans spin) de charge $q$ en mouvement dans un champ électromagnétique, la force de Lorentz ${\vec {F}}=q{\vec {E}}+q{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$ — qui ne dérive pas d'une énergie potentielle — entre en jeu. Impulsion ${\vec {p}}$ et quantité de mouvement ${\vec {\pi }}$ ne sont plus identiques en raison d'un terme dû au potentiel vecteur ${\vec {A}}$ . La relation reliant ces quantités est alors ${\vec {p}}={\vec {\pi }}+q{\vec {A}}$ ^[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Le module de $i\hbar$ n'est pas nul mais est négligeable devant l'action des systèmes physiques macroscopiques. C'est la raison pour laquelle les effets quantiques sont négligeables à notre échelle. (Cohen-Tannoudji, p. 41)