Indice de Sobol
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En analyse de sensibilité[1],[2], les indices de Sobol sont des indices de sensibilité d'une variable de sortie à une variable d'entrée. Ils sont nommés d'après le mathématicien russe Ilya Meïérovitch Sobol[3].
Soit un modèle que l'on exprime par une fonction f associant à des variables aléatoires Xi, i∈⟦1,n⟧ la variable aléatoire Y . Le ième indice de sensibilité de premier ordre est défini par : Il s'agit d'un indice de sensibilité basé sur une décomposition de variance. Les indices de Sobol se généralisent aux ordres supérieurs (ils quantifient alors la variance attribuée à l'interaction entre paramètres) et même dans le cas de paramètres dépendants[4].
![{\displaystyle S_{i}={\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9dcb2a85f102157ae8e88b842262c3949983240)
Indices de Sobol[modifier | modifier le code]
Généralité[modifier | modifier le code]
Premier ordre[modifier | modifier le code]
Ordre total[modifier | modifier le code]
![{\displaystyle ST_{i}=1-{\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{\sim }{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0dd13e84ca18af982c0599fba84b796a7424af)
ième ordre[modifier | modifier le code]
Les indices généralisés[modifier | modifier le code]
Lorsque la sensibilité du modèle doit être faite sur des séries temporelles, on peut utiliser les indices de Sobol généralisés:
![{\displaystyle GSI_{i}=\sum _{t=1}^{N}{\frac {\mathbf {Var} \left[Y(t)\right]}{\sum _{t_{2}=1}^{N}\mathbf {Var} \left[Y(t_{2})\right]}}\cdot S_{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a65cffecaf27a922cf5293703e0804b856935a7)
Algorithme de calcul[modifier | modifier le code]
Plusieurs algorithmes ont été présentés par Saltelli [5] pour calculer les indices de premier ordre et d'ordre total.
Utilisation[modifier | modifier le code]
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) Bertrand Iooss et Paul Lemaître, Uncertainty Management in Simulation-Optimization of Complex Systems, Springer US, coll. « Operations Research/Computer Science Interfaces Series », (ISBN 9781489975461 et 9781489975478, DOI 10.1007/978-1-4899-7547-8_5, lire en ligne), p. 101–122
- Janon, Alexandre, « Analyse de sensibilité et réduction de dimension. Application à l'océanographie », http://www.theses.fr/, (lire en ligne, consulté le )
- I. M Sobol′, « Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates », Mathematics and Computers in Simulation, the Second IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, vol. 55, , p. 271–280 (DOI 10.1016/S0378-4754(00)00270-6, lire en ligne, consulté le )
- Chastaing, Gaëlle, « Indices de Sobol généralisés par variables dépendantes », http://www.theses.fr/, (lire en ligne, consulté le )
- (en) « Variance based sensitivity analysis of model output. Design and estimator for the total sensitivity index », Computer Physics Communications, (DOI doi:10.1016/j.cpc.2009.09.018, lire en ligne)
