Matrice de distance euclidienne

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En mathématiques, une matrice de distance euclidienne est une matrice de taille n × n représentant l'espacement d'un ensemble de $n$ points dans un espace euclidien. Si l'on note $A$ une matrice de distance euclidienne et $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ des points sont définis dans un espace de dimension $m$ , alors les éléments de $A$ sont donnés par

{\begin{aligned}A&=(a_{ij});\\a_{ij}&=d_{ij}^{2}\;=\;\lVert x_{i}-x_{j}\rVert _{2}^{2}\end{aligned}}

où $\|\cdot \|_{2}$ désigne la norme euclidienne sur $\mathbb {R} ^{m}$ . Ainsi, la matrice des distances euclidienne sera de la forme :

A={\begin{bmatrix}0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\dots &d_{2n}^{2}\\d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&\dots &d_{3n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&d_{n3}^{2}&\dots &0\\\end{bmatrix}}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Pour faire simple, l'élément $a_{ij}$ décrit le carré de la distance entre les $i$ ^ème et $j$ ^ème points de l'ensemble. Par les propriétés de la norme euclidienne, la matrice $A$ a les propriétés suivantes :

Tous les éléments sur la diagonale de $A$ sont nuls (l'on parle alors de matrice creuse).
La trace de $A$ est zéro (par la propriété ci-dessus).
$A$ est symétrique (c'est-à-dire que $a_{ij}=a_{ji}$ ).
${\sqrt {a_{ij}}}\leq {\sqrt {a_{ik}}}+{\sqrt {a_{kj}}}$ (par l'inégalité triangulaire)
$a_{ij}\geq 0$
Le nombre de valeurs uniques (distinctes) non nulles d'une matrice de distance euclidienne de taille $n\times n$ est borné supérieurement par $n(n-1)/2$ en raison de la symétrie et du fait d'être creuse.
En dimension m, le rang d'une matrice de distance euclidienne est inférieur ou égal à $m+2$ . Si les points $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ sont en position générale, le rang est exactement min(n, m + 2).

Voir également[modifier | modifier le code]

Matrice d'adjacence
Coplanarité
Géométrie de distance
Matrice de distance
Matrice aléatoire euclidienne
L'échelle multidimensionnelle classique, une technique de visualisation qui rapproche une matrice de dissimilarité arbitraire par une matrice de distance euclidienne
Déterminant de Cayley-Menger

Références[modifier | modifier le code]

James E. Gentle, Matrix Algebra : Theory, Computations, and Applications in Statistics, Springer-Verlag, 2007, 528 p. (ISBN 978-0-387-70872-0 et 0-387-70872-3, lire en ligne), p. 299

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