Graphique tridimensionnel représentant la moyenne logarithmique de x et y . En mathématiques , la moyenne logarithmique est un type de moyenne .
Pour deux réels strictement positifs, elle est égale à leur différence , divisée par le logarithme de leur quotient . Cette moyenne est utilisée lors de problèmes d'ingénierie concernant le transfert de chaleur et de masse .
La moyenne logarithmique de deux réels strictement positifs
a
,
b
{\displaystyle a,b}
M
ln
(
a
,
b
)
=
lim
(
x
,
y
)
→
(
a
,
b
)
x
−
y
ln
x
−
ln
y
=
{
a
si
a
=
b
,
b
−
a
ln
b
−
ln
a
sinon
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{ln}}(a,b)&=\lim _{(x,y)\to (a,b)}{\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}\\[6pt]&={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b,\\{\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}&{\text{sinon}}\end{cases}}\end{aligned}}}
Ainsi, par exemple, la moyenne logarithmique de 1 et 2 est
1
ln
2
=
1
,
4426
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{\ln 2}}=1,4426\cdots }
A007525 de l'OEIS .
La moyenne logarithmique est bien une moyenne , car comprise entre a et b (ce résultat est connu sous le nom d'« inégalité de Napier[ 1]
M
ln
(
k
a
,
k
b
)
=
k
M
ln
(
a
,
b
)
{\displaystyle M_{\ln }(ka,kb)=kM_{\ln }(a,b)}
La moyenne logarithmique de deux nombres est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique et à leur moyenne d'ordre 1/2 , mais supérieure ou égale à leur moyenne géométrique et à leur moyenne harmonique ; plus précisément :
2
a
b
a
+
b
⩽
a
b
⩽
M
ln
(
a
,
b
)
⩽
(
a
+
b
2
)
2
⩽
a
+
b
2
pour
a
,
b
>
0
{\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}\leqslant {\sqrt {ab}}\leqslant M_{\text{ln}}(a,b)\leqslant \left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2}\leqslant {\frac {a+b}{2}}\qquad {\text{ pour }}a,b>0}
[ 2] , [ 3] , [ 4] Les deux inégalités extrêmes viennent de la croissance avec
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
moyenne de Stolarsky
S
p
(
a
,
b
)
{\displaystyle S_{p}(a,b)}
Ces deux dernières inégalités se démontrent élémentairement comme suit.
Pour
b
⩾
a
{\displaystyle b\geqslant a}
x
=
b
/
a
{\displaystyle x={\sqrt {b/a}}}
a
b
⩽
M
ln
(
a
,
b
)
⩽
(
a
+
b
2
)
2
{\displaystyle {\sqrt {ab}}\leqslant M_{\text{ln}}(a,b)\leqslant \left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2}}
x
⩽
x
2
−
1
2
ln
x
⩽
(
1
+
x
2
)
2
{\displaystyle x\leqslant {\frac {x^{2}-1}{2\ln x}}\leqslant \left({\frac {1+x}{2}}\right)^{2}}
En remplaçant
x
{\displaystyle x}
e
x
,
x
⩾
0
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x},x\geqslant 0}
x
⩽
e
2
x
−
1
2
e
x
=
sinh
x
{\displaystyle x\leqslant {\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{2\mathrm {e} ^{x}}}=\sinh x}
La deuxième s'écrit aussi
ln
x
⩾
2
x
−
1
x
+
1
{\displaystyle \ln x\geqslant 2{\frac {x-1}{x+1}}}
x
{\displaystyle x}
e
2
x
,
x
⩾
0
{\displaystyle \mathrm {e} ^{2x},x\geqslant 0}
x
⩾
tanh
x
{\displaystyle x\geqslant \tanh x}
La relation entre les moyennes géométrique, logarithmique et arithmétique peut aussi se déduire de l'inégalité d'Hermite-Hadamard pour f = exp[ln(a ) , ln(b )] .
D'après le théorème des accroissements finis , il existe un réel
c
{\displaystyle c}
a et b où la dérivée d'une fonction f est égale à la pente de la sécante :
∃
c
∈
]
a
,
b
[
:
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
{\displaystyle \exists c\in ]a,b[:\ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
La moyenne logarithmique est le nombre
c
{\displaystyle c}
f
=
ln
{\displaystyle f=\ln }
1
c
=
ln
b
−
ln
a
b
−
a
{\displaystyle {\frac {1}{c}}={\frac {\ln b-\ln a}{b-a}}}
soit :
c
=
b
−
a
ln
b
−
ln
a
{\displaystyle c={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}}
La moyenne logarithmique peut également être interprétée comme l'aire sous une courbe définie par des fonctions exponentielle :
M
ln
(
a
,
b
)
=
∫
0
1
a
1
−
t
b
t
d
t
{\displaystyle M_{\ln }(a,b)=\int _{0}^{1}a^{1-t}b^{t}\ \mathrm {d} t}
Démonstration
Le calcul est direct :
∫
0
1
a
1
−
t
b
t
d
t
=
a
∫
0
1
(
b
a
)
t
d
t
=
a
[
1
ln
(
b
a
)
(
b
a
)
t
]
t
=
0
t
=
1
=
b
−
a
ln
(
b
a
)
=
b
−
a
ln
b
−
ln
a
{\displaystyle \int _{0}^{1}a^{1-t}b^{t}\ \mathrm {d} t=a\int _{0}^{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{t}\mathrm {d} t=a\left[{\frac {1}{\ln \left({\frac {b}{a}}\right)}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{t}\right]_{t=0}^{t=1}={\frac {b-a}{\ln \left({\frac {b}{a}}\right)}}={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}}
Carlson donne d'autres expressions intégrales[ 5]
1
M
ln
(
a
,
b
)
=
∫
0
1
d
t
(
1
−
t
)
a
+
t
b
=
∫
0
∞
d
t
(
t
+
a
)
(
t
+
b
)
.
{\displaystyle {1 \over M_{\ln }{(a,b)}}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over (1-t)a+tb}\ =\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+a)\,(t+b)}.}
Démonstration
La première intégrale se fait par un simple changement de variables affine :
∫
0
1
d
t
(
1
−
t
)
a
+
t
b
=
∫
a
b
1
u
d
u
b
−
a
=
ln
b
−
ln
a
b
−
a
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over (1-t)a+tb}=\int _{a}^{b}{1 \over u}{\operatorname {d} \!u \over b-a}={\frac {\ln b-\ln a}{b-a}}}
Pour la deuxième intégrale, on utilise la décomposition en éléments simples :
∫
0
∞
d
t
(
t
+
a
)
(
t
+
b
)
=
1
b
−
a
∫
0
∞
(
1
(
t
+
a
)
−
1
(
t
+
b
)
)
d
t
=
1
b
−
a
[
ln
(
t
+
a
t
+
b
)
]
0
∞
=
−
ln
(
a
/
b
)
b
−
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+a)\,(t+b)}={1 \over b-a}\int _{0}^{\infty }\left({1 \over (t+a)}-{1 \over (t+b)}\right)\operatorname {d} \!t={1 \over b-a}\left[\ln \left({{t+a} \over t+b}\right)\right]_{0}^{\infty }={\frac {-\ln(a/b)}{b-a}}}
D'après le théorème des sommes de Riemann ,
M
ln
(
a
,
b
)
{\displaystyle M_{\ln }(a,b)}
(
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
a
n
−
k
b
k
n
)
n
⩾
0
{\displaystyle \left({\frac {1}{n+1}}\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\sqrt[{n}]{a^{n-k}b^{k}}}\right)_{n\geqslant 0}}
moyennes géométriques pondérées .
Par le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n [ modifier | modifier le code ] On peut généraliser la moyenne logarithmique à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n faisant intervenir les différences divisées d'ordre n du logarithme.
On obtient
L
MV
(
x
0
,
…
,
x
n
)
=
(
−
1
)
(
n
+
1
)
n
ln
(
[
x
0
,
…
,
x
n
]
)
−
n
{\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}
où
ln
(
[
x
0
,
…
,
x
n
]
)
{\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}
différence divisée d'ordre n du logarithme.
Pour n = 2, cela donne par exemple :
L
MV
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
−
y
)
(
y
−
z
)
(
z
−
x
)
2
[
(
y
−
z
)
ln
x
+
(
z
−
x
)
ln
y
+
(
x
−
y
)
ln
z
]
{\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left[\left(y-z\right)\ln x+\left(z-x\right)\ln y+\left(x-y\right)\ln z\right]}}}}
L'interprétation intégrale peut aussi être généralisée à plusieurs variables, mais elle conduit à un résultat différent. Étant donné le simplexe
S
{\textstyle S}
S
=
{
(
α
0
,
…
,
α
n
)
:
(
α
0
+
⋯
+
α
n
=
1
)
∧
(
α
0
⩾
0
)
∧
⋯
∧
(
α
n
⩾
0
)
}
{\textstyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geqslant 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geqslant 0\right)\}}
mesure appropriée
d
α
{\textstyle \mathrm {d} \alpha }
L
I
(
x
0
,
…
,
x
n
)
=
∫
S
x
0
α
0
⋅
⋯
⋅
x
n
α
n
d
α
{\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }
Cela peut être simplifié en utilisant les différences divisées de la fonction exponentielle pour
L
I
(
x
0
,
…
,
x
n
)
=
n
!
exp
[
ln
(
x
0
)
,
…
,
ln
(
x
n
)
]
{\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}
Exemple pour
n
=
2
{\textstyle n=2}
L
I
(
x
,
y
,
z
)
=
−
2
x
(
ln
(
y
)
−
ln
(
z
)
)
+
y
(
ln
(
z
)
−
ln
(
x
)
)
+
z
(
ln
(
x
)
−
ln
(
y
)
)
(
ln
(
x
)
−
ln
(
y
)
)
(
ln
(
y
)
−
ln
(
z
)
)
(
ln
(
z
)
−
ln
(
x
)
)
{\displaystyle L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)+y\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)+z\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)}{\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)}}}
Moyenne arithmétique :
M
ln
(
x
2
,
y
2
)
M
ln
(
x
,
y
)
=
x
+
y
2
{\displaystyle {\frac {M_{\ln }\left(x^{2},y^{2}\right)}{M_{\ln }(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}
Moyenne géométrique :
M
ln
(
x
,
y
)
M
ln
(
1
x
,
1
y
)
=
x
y
{\displaystyle {\sqrt {\frac {M_{\ln }\left(x,y\right)}{M_{\ln }\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}}
Moyenne harmonique :
M
ln
(
1
x
,
1
y
)
M
ln
(
1
x
2
,
1
y
2
)
=
2
1
x
+
1
y
{\displaystyle {\frac {M_{\ln }\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{M_{\ln }\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}
Notes
↑ (en) Eric W. Weisstein , « Napier's Inéquality MathWorld ↑ (en) B. C. Carlson, « Some inequalities for hypergeometric functions », Proc. Amer. Math. Soc. vol. 17, 1966 , p. 32–39 (DOI 10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6 ↑ (en) B. Ostle et H. L. Terwilliger, « A comparison of two means », Proc. Montana Acad. Sci. vol. 17, 1957 , p. 69–70↑ (en) Tung-Po Lin, « The Power Mean and the Logarithmic Mean », The American Mathematical Monthly vol. 81, 11 avril 2018 (DOI 10.1080/00029890.1974.11993684 ↑ (en) Billie C. Carlson, « The Logarithmic Mean », The American Mathematical Monthly vol. 79, no 6, 1972 , p. 615– (DOI 10.2307/2317088 Bibliographie 
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{ln}}(a,b)&=\lim _{(x,y)\to (a,b)}{\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}\\[6pt]&={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b,\\{\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}&{\text{sinon}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2221c15d7c805eaebb1f58839a9bd9075a69740c)
![{\displaystyle \exists c\in ]a,b[:\ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0e6b7939f33c9612b5c8f9dd66666dea391c02)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}a^{1-t}b^{t}\ \mathrm {d} t=a\int _{0}^{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{t}\mathrm {d} t=a\left[{\frac {1}{\ln \left({\frac {b}{a}}\right)}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{t}\right]_{t=0}^{t=1}={\frac {b-a}{\ln \left({\frac {b}{a}}\right)}}={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5e84556dd3437883233b7dc4eb567b897ef6c3)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+a)\,(t+b)}={1 \over b-a}\int _{0}^{\infty }\left({1 \over (t+a)}-{1 \over (t+b)}\right)\operatorname {d} \!t={1 \over b-a}\left[\ln \left({{t+a} \over t+b}\right)\right]_{0}^{\infty }={\frac {-\ln(a/b)}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79c57246e391d5a8c43e569380e30c961a81154)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{n+1}}\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\sqrt[{n}]{a^{n-k}b^{k}}}\right)_{n\geqslant 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b582ca24961e483c5420582564f9a4cfcccf745)
![{\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f768d4332d13acc1ed2bef32032c7fd92c84bc)
![{\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7456e6367275d5f13829e0150ea009b5b093bb38)
![{\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left[\left(y-z\right)\ln x+\left(z-x\right)\ln y+\left(x-y\right)\ln z\right]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8cfd5f60e635198611cab3630da306f1bbadd0)
![{\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0beb3a5bfda4ba6e6185d83ddf13c718d7a590c)
