Nombre de Demlo

En mathématiques récréatives, un nombre de Demlo, aussi appelé merveilleux nombre de Demlo, a été défini par D. R. Kaprekar comme le carré d'un répunit. Ils portent le nom de la gare de Demlo, située à 50 km de Bombay, endroit où Kaprekar a commencé à les étudier.

Les onze premiers nombres de Demlo en base 10 sont 1, 121, 12321, 1234321, … , 12345678987654321, 1234567900987654321 et 123456790120987654321.

Définition

Un nombre de Demlo en base $b$ est un nombre de la forme $\left({\frac {b^{n}-1}{b-1}}\right)^{2}$ pour $n>0$.

Si $n<b$, un tel nombre est (en base $b$) un nombre palindrome à $2n-1$ chiffres et, plus précisément, de la forme

$nb^{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}(ib^{2n-i}+ib^{i-1})$

c'est-à-dire que (lu de gauche à droite) ses $n$ premiers chiffres sont les $n$ premiers chiffres en base $b$ dans l'ordre croissant, et ses $n$ derniers chiffres sont les mêmes chiffres dans l'ordre inverse.

Exemple : $1234321$ est un nombre de Demlo car $1234321=1111^{2}=1111\times 1111$.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Repunit » (voir la liste des auteurs).