Primitives de fonctions exponentielles

Cet article présente une liste de primitives usuelles de fonctions exponentielles.

Liste

Une constante (la constante d'intégration) peut être ajoutée au côté droit de n'importe laquelle de ces formules ; elle a été supprimée ici par souci de brièveté.

Intégrale de l'exponentielle

$\int \mathrm {e} ^{ax+b}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\mathrm {e} ^{ax+b}$ avec $a\neq 0$

Intégrale du quotient de l'exponentielle sur $x$

$\int {\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln |x|+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(ax)^{n}}{n!\cdot n}}$

Intégrale du produit de l'exponentielle et d'une puissance de $x$

$\int x^{n}\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}x^{n}\mathrm {e} ^{ax}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x$ avec $n\in \mathbb {Z} \setminus (-1)$

Intégrale du produit de l'exponentielle et du logarithme népérien

$\int \mathrm {e} ^{ax}\ln x\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\mathrm {e} ^{ax}\ln |x|-{\frac {1}{a}}\int {\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{x}}\,\mathrm {d} x$

Intégrale du produit de l'exponentielle et d'un polynôme

Soit $P$ une fonction polynomiale. On note $P'$ sa dérivée.

$\int P(x)\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}P(x)\mathrm {e} ^{ax}-{\frac {1}{a}}\int P^{\prime }(x)\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x$

Références

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)