Processus prévisible

Dans l'analyse stochastique, qui fait partie de la théorie mathématique de la probabilité, un processus prévisible est un processus stochastique dont la valeur peut être connue à un moment antérieur. Les processus prévisibles constituent la classe la plus petite qui soit fermée en prenant des limites de séquences et contient tous les processus adaptés et continus à gauche.

Définition mathématique[modifier | modifier le code]

Processus à temps discret[modifier | modifier le code]

Étant donné un espace de probabilité filtré $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} },\mathbb {P} )$ , un processus stochastique $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est prévisible si $X_{n+1}$ est mesurable par rapport à la σ-algèbre ${\mathcal {F}}_{n}$ pour chaque n^[1].

Processus en temps continu[modifier | modifier le code]

Étant donné un espace de probabilité filtré $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ , un processus stochastique en temps continu $(X_{t})_{t\geq 0}$ est prévisible si $X$ , considéré comme une application de $\Omega \times \mathbb {R} _{+}$ , est mesurable par rapport à la σ-algèbre générée par tous les processus adaptés continus à gauche^[2] . Cette σ-algèbre est aussi appelée σ-algebre prévisible .