Réciprocité cubique

En mathématiques, la loi de réciprocité cubique fait référence à divers résultats reliant la résolubilité de deux équations cubiques reliées en arithmétique modulaire.

Notations[modifier | modifier le code]

La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c’est-à-dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme

z=a+b\omega

où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs et

\omega ={\frac {-1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}={\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}/3}

est une racine cubique de l'unité complexe.

Si $π$ est un élément premier de E de norme P ≡ 1 (mod 3) et $α$ un élément premier avec $π$ , on définit le symbole résidu cubique $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\,$ comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de $ω$ ) satisfaisant

\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\equiv \alpha ^{(P-1)/3}{\pmod {\pi }}.

De plus, on dit qu'un entier d'Eisenstein est primaire s'il est congru à ±1 modulo 3.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour des nombres premiers primaires non associés $π$ et $θ$ , la loi de réciprocité cubique est :

\left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}

avec des lois supplémentaires pour les unités et pour l'élément premier $1 - ω$ de norme 3 qui, pour $π = 1 + 3(m + n ω)$ , sont :

\left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{-m-n},\quad \left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m}\quad {\rm {et}}\quad \left({\frac {3}{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{n}.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cubic reciprocity » (voir la liste des auteurs).
(en) David A. Cox, Primes of the Form x²+ny², Wiley, 1997 (1^re éd. 1989), 351 p. (ISBN 978-0-471-19079-0, lire en ligne), p. 74-80
(en) Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, coll. « GTM » (n^o 84), 1990 (réimpr. 1998), 2^e éd., 389 p. (ISBN 978-0-387-97329-6, lire en ligne), p. 108-137
(en) Franz Lemmermeyer, Reciprocity Laws : From Euler to Eisenstein, Berlin/New York, Springer, 2000, 487 p. (ISBN 978-3-540-66957-9, lire en ligne), p. 209-234

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Arithmétique et théorie des nombres