Suite de Lucas

En mathématiques, les suites de Lucas $U (P, Q)$ et $V (P, Q)$ associées à deux entiers $P$ et $Q$ sont deux suites récurrentes linéaires d'ordre $2$ à valeurs entières qui généralisent respectivement la suite de Fibonacci et celle de Fibonacci-Lucas, correspondant aux valeurs $P = 1$ et $Q = -1$ .

Elles doivent leur nom au mathématicien français Édouard Lucas^[1].

Définition par récurrence[modifier | modifier le code]

Soient $P$ et $Q$ deux entiers non nuls tels que

\Delta =P^{2}-4Q\neq 0

(pour éviter les cas dégénérés)^[2].

Les suites de Lucas $U (P, Q)$ et $V (P, Q)$ sont définies par les relations de récurrence linéaire

U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n}(P,Q)=P.U_{n-1}(P,Q)-Q.U_{n-2}(P,Q){\mbox{  pour }}n\geqslant 2

et

V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n}(P,Q)=P.V_{n-1}(P,Q)-Q.V_{n-2}(P,Q){\mbox{  pour }}n\geqslant 2.

Terme général[modifier | modifier le code]

Notons $\delta$ l'une des deux racines carrées de $Δ$ (éventuellement dans ℂ).

Puisque $Δ \neq 0$ , le polynôme caractéristique associé à la récurrence $X 2 - PX + Q$ possède deux racines distinctes

a={\frac {P+\delta }{2}}\quad {\rm {et}}\quad b={\frac {P-\delta }{2}}.

Alors $U (P, Q)$ et $V (P, Q)$ peuvent aussi être définies en fonction de $a$ et $b$ par l'analogue suivant de la formule de Binet^[a] :

U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\delta }}\quad {\rm {et}}\quad V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n},

dont on peut tirer les relations

a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}\delta }{2}}\quad {\rm {et}}\quad b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}\delta }{2}}.

Autres relations[modifier | modifier le code]

Les nombres dans les suites de Lucas satisfont à de nombreuses relations^[3], qui généralisent celles entre les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas. Par exemple^[b] :

(*)\quad U_{n}U_{m+r}-U_{r}U_{m+n}=Q^{r}U_{n-r}U_{m}

^[c]

(**)\quad U_{m+n}=

^[d]^,^[4]

U_{n}U_{m+1}-QU_{n-1}U_{m}={U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n} \over 2}

et

V_{m+n}=V_{m}V_{n}-Q^{m}V_{n-m}={\Delta U_{m}U_{n}+V_{m}V_{n} \over 2},

en particulier

U_{n+1}={PU_{n}+V_{n} \over 2}=V_{n}+QU_{n-1},\qquad V_{n+1}={\Delta U_{n}+PV_{n} \over 2}=\Delta U_{n}+QV_{n-1}

et

U_{2n}=U_{n}V_{n},\qquad V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}.

Divisibilité[modifier | modifier le code]

De la deuxième identité ci-dessus, (**) U_m+n = U_nU_m+1 – QU_n–1U_m, on déduit immédiatement (par récurrence sur k) que U_nk est toujours un multiple de U_n : on dit que la suite U(P, Q) est à divisibilité faible.

Variante par calcul du quotient

Plaçons-nous dans le cas non dégénéré et supposons $k>0$ et, pour alléger l'écriture, $U_{n}\neq 0$ (dans le cas $U_{n}=0$ , il suffit d'écrire les égalités correspondantes sans division par $U_{n}$ ).

{\begin{aligned}{\frac {U_{nk}}{U_{n}}}&={\frac {a^{nk}-b^{nk}}{a^{n}-b^{n}}}=\sum _{j=0}^{k-1}a^{n(k-1-j)}b^{nj}\\&=(a^{n(k-1)}+b^{n(k-1)})+(a^{n(k-2)}b^{n}+b^{n(k-2)}a^{n})+(a^{n(k-3)}b^{2n}+b^{n(k-3)}a^{2n})+\ldots \\&=(a^{n(k-1)}+b^{n(k-1)})+Q^{n}(a^{n(k-3)}+b^{n(k-3)})+Q^{2n}(a^{n(k-5)}+b^{n(k-5)})+\ldots \\&=V_{n(k-1)}+Q^{n}V_{n(k-3)}+Q^{2n}V_{n(k-5)}+\ldots \in \mathbb {Z} .\end{aligned}}

Pour qu'elle soit même à divisibilité forte, c'est-à-dire que pgcd(U_i, U_j) soit non seulement divisible par U_{pgcd(i, j)} mais égal (au signe près), il faut et il suffit que P et Q soient premiers entre eux^[b]^,^[5].

Démonstration^[e]

Si la suite est à divisibilité forte alors 1 = U₁ = pgcd(U₂, U₃) = pgcd(P, P² – Q) = pgcd(P, Q).

Réciproquement, supposons que pgcd(P, Q) = 1 et montrons d'abord par récurrence que pour tout n ≥ 1, U_n est premier avec Q.

L'initialisation est immédiate, et l'hérédité se déduit (grâce au lemme de Gauss) de pgcd(U_n+1, Q) = pgcd(PU_n, Q) et de l'hypothèse.

On déduit ensuite de cette propriété, jointe à l'identité U_nU_r+1 – U_rU_n+1 = Q^rU_n–r^[d], que pgcd(U_n, U_r) divise pgcd(U_n–r, U_r) pour 0 < r < n donc (par anthyphérèse) pgcd(U_i, U_j) divise U_{pgcd(i, j)}. La divisibilité forte s'ensuit.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

U(1,-1)

est la suite de Fibonacci et

V(1,-1)

la suite de Fibonacci-Lucas.

U(2,-1)

est la suite de Pell et

V(2,-1)

la suite de Pell-Lucas.

Plus généralement, $U_{n}(P,-1)$ et $V_{n}(P,-1)$ sont les valeurs en P du n-ième polynôme de Fibonacci et du n-ième polynôme de Lucas.

$U(a+b,ab)=\left({\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}\right)$ donne comme cas particulier $U(3,2)=(2^{n}-1)$ qui est la suite des nombres de Mersenne et plus généralement, $U(b+1,b)$ qui est la suite des répunits en base b.

U(1,-2)

est la suite de Jacobstahl et

V(1,-2)

la suite de Jacobsthal-Lucas.

U(1,1)=\left({\frac {2\sin {\frac {n\pi }{3}}}{\sqrt {3}}}\right)=(0,1,1,0,-1,-1,0,...)

,

V(1,1)=\left(2\cos {\frac {n\pi }{3}}\right)=(2,1,-1,-2,-1,1,2,...)

.

S_{k}:=V_{2^{k}}({\sqrt {2}},-1)

(k ≥ 1) est la suite qui intervient dans le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne : S₁ = V₂ = 4 et S_k+1 = S_k² – 2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucas sequence » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Dans le cas $Δ = 0$ , on a $U_{n}(P,Q)=na^{n-1}$ et $V_{n}(P,Q)=2a^{n}$ , avec $a=b=P/2$ .
↑ ^{a et b} Y compris dans les cas dégénérés.
↑ Cette équation est un cas particulier des identités remarquables vérifiées par les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, mais peut aussi se déduire directement de l'expression de $U n$ en fonction de $a$ et $b$ .
↑ ^{a et b} Cette équation se déduit de $(*)$ .
↑ L'anneau dans lequel la suite prend ses valeurs (ici : l'anneau des entiers) peut être remplacé par n'importe quel anneau intègre à PGCD.

Références[modifier | modifier le code]

↑ Édouard Lucas, « Théorie des fonctions numériques simplement périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, n^o 2,‎ 1878, p. 184-196, 197-240, 289-321 (lire en ligne).
↑ C'est le choix adopté par Ribenboim 2006, p. 2. (en) D. H. Lehmer, « An extended theory of Lucas' functions », Ann. Math., 2^e série, vol. 31,‎ 1930, p. 419-448 (JSTOR 1968235), l'étend au cas où P est la racine carrée d'un entier premier avec Q. Lucas prenait P et Q entiers premiers entre eux.
↑ « A look at the issues of The Fibonacci Quarterly will leave the impression that there is no bound to the imagination of mathematicians whose endeavor it is to produce newer forms of these identities and properties. […] I shall select a small number of formulas that I consider most useful. Their proofs are almost always simple exercises, either by applying Binet's formulas or by induction. » Ribenboim 2006, p. 2.
↑ (en) Peter Bala, « Divisibility sequences from strong divisibility sequences », sur OEIS, 2014, p. 9, Proposition A.3.
↑ Ribenboim 2006, p. 9 ; Lucas 1878, p. 206 ; Bala 2014, Appendix (p. 8-10).