Théorème de Kneser (combinatoire)

En combinatoire additive, le théorème de Kneser, nommé d'après Martin Kneser, est un énoncé sur les sommes d'ensembles dans les groupes abéliens^[1].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient A et B deux parties finies non vides d'un groupe abélien G et H le sous-groupe (fini) des périodes de A + B :

H=\{g\in G~|~g+(A+B)=(A+B)\},

alors^[2] :

(*)\quad |A+B|\geq |A+H|+|B+H|-|H|,

ce qui entraîne : |A + B| ≥ |A| + |B| – |H| ; en particulier si |A + B| ≤ |A| + |B| – 2 alors A + B est périodique, i.e. possède des périodes non nulles.

De plus, si l'inégalité (✲) est stricte, alors |A + B| est même supérieur ou égal à |A + H| + |B + H|^[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ (de) M. Kneser, « Abschätzungen der asymptotischen Dichte von Summenmengen », Math. Z., vol. 58,‎ 1953, p. 459-484 (lire en ligne)
↑ ^{a et b} (en) Alfred Geroldinger et Imre Z. Ruzsa (en), Combinatorial Number Theory and Additive Group Theory, Springer, 2009 (ISBN 978-3-7643-8961-1, lire en ligne), p. 143

(en) Terence Tao et Van H. Vu, Additive Combinatorics, CUP, 2010, 532 p. (ISBN 978-0-521-13656-3, lire en ligne), p. 200, Theorem 5.5
(en) Melvyn Nathanson, Additive Number Theory : Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Springer, coll. « GTM » (n^o 165), 1996, 296 p. (ISBN 978-0-387-94655-9, lire en ligne), p. 109-132

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kneser's theorem (combinatorics) » (voir la liste des auteurs).