Théorème de Leibniz
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Le théorème de Leibniz en géométrie euclidienne s'énonce comme suit :
Soient dans le plan euclidien deux points A et B. On considère le lieu des points M tels que a AM2 + b BM2 = cste. Soit G le barycentre de (A, a) et (B, b). Alors le lieu, s'il est non vide, est un cercle de centre G.
Démonstration[modifier | modifier le code]
On développe l'équation en introduisant G.
L'égalité se réduit donc à (a+b)GM2 = cste, qui doit être positive.
Remarque : si a + b = 0, G est en quelque sorte rejeté à l'infini : le lieu est alors une droite du plan orthogonale à AB.
Le théorème se généralise aisément à un n-uplet de points.
Rapport avec l'analysis situs[modifier | modifier le code]
Leibniz, dans sa Caractéristique géométrique, représente l'écriture du cercle de la manière suivante : ABC γ ABY qui peut se lire « ABC pareil que ABY ». Autrement dit, étant donnés trois points fixes de l'espace A, B, et C, quelle forme décrit l'ensemble des points Y qui gardent la même relation que C a avec A et B ? On peut traduire encore de cette manière : AC γ AY et BC γ BY (la relation de C à A est la même que de Y à A et la relation de C à B est la même que de Y à B — distances égales).
