Théorème de Stallings

Le théorème de Stallings est un théorème de la théorie des groupes des groupes qui caractérise les groupes à plusieurs bouts. Il en résulte une caractérisation des groupes libres par leur dimension cohomologique, parfois aussi appelée théorème de Stallings ou théorème de Stallings-Swan.

John Stallings et Richard Swan ont reçu le prix Frank-Nelson-Cole d'algèbre pour ces résultats.

Théorème de Stallings sur les bouts de groupes

Pour un groupe de type fini $G$ soit $e(G)$ le nombre de bouts du graphe de Cayley de $G$ ; ce nombre est indépendant du choix du système générateur utilisé pour construire le graphe de Cayley. D'après un théorème de Freudenthal, on a $e(G)\leq 2$ ou $e(G)=\infty$.

Théorème de Stallings sur les bouts de groupes — On a $e(G)>1$ si et seulement si $G$ est un produit libre amalgamé non trivial $G=G_{1}*_{A}G_{2}$ de deux groupes de type fini sur un groupe fini ou une extension HNN non triviale $G=G_{1}*_{A}$ d'un groupe de type fini par un groupe fini.

En particulier, on a $e(G)=\infty$ pour les groupes de type fini sans torsion exactement quand $G$ un produit libre $G=G_{1}*G_{2}$ de deux sous-groupes non triviaux.

Théorème de Stallings-Swan de caractérisation des groupes libres

Il découle du théorème de Stallings qu'un groupe de type fini est libre si et seulement si sa dimension cohomologique est $cd_{\mathbb {Z} }(G)=1$.

Une forme plus générale a été démontrée par Swan :

Théorème de Stallings-Swan — Soit $R$ un anneau unitaire et $G$ un groupe sans torsion. Alors $G$ est libre si et seulement si $cd_{R}(G)=1$.

Ce théorème ne nécessite pas l'hypothèse que $G$ est de type fini. La condition d'être sans torsion est toujours satisfaite pour les groupes quand $cd_{\mathbb {Z} }(G)<\infty$.

Une autre conséquence est qu'un groupe sans torsion contenant un sous-groupe libre d'indice fini est lui-même libre.

Développements

Plusieurs autres preuves du théorème de Stallings ont été données après la preuve originale de Stallings. Ainsi, Dunwoody a donné une preuve basée sur les idées de coupes d'arêtes. Ultérieurement, Dunwoody a donné une preuve du théorème de Stallings pour les groupes finiment présentés en utilisant une méthode dite des « pistes » sur les 2-complexes finis. Graham A. Niblo a obtenu une preuve géométrique du théorème de Stallings comme une conséquence d'une version relative de CAT(0)-cubing de Sageev. Mikhaïl Gromov a esquissé une preuve dans sa présentation des groupes hyperboliques, où l'argument des surfaces minimales est remplacé par un argument plus facile d'analyse harmonique et cette approche a été poussée plus loin par Kapovich.

Notes et références

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Stallings » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• John Stallings, « On torsion-free groups with infinitely many ends », Annals of Mathematics (2), vol. 88,‎ 1968, p. 312–334.
• John Stallings, Group theory and three-dimensional manifolds : A James K. Whittemore Lecture in Mathematics given at Yale University, Yale University Press, coll. « Yale Mathematical Monographs, 4 », 1971.
• Richard Swan, « Groups of cohomological dimension one », J. Algebra, vol. 12,‎ 1969, p. 585–610.
• Daniel Cohen, Groups of cohomological dimension one, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 245), 1972.
• Martin Dunwoody, « Accessibility and groups of cohomological dimension one », Proc. London Math. Soc. (3), vol. 38, n^o 2,‎ 1969, p. 193–215
• Martin Dunwoody, « Cutting up graphs », Combinatorica, vol. 2, n^o 1,‎ 1982, p. 15-23 (DOI 10.1007/BF02579278)
• Martin Dunwoody, « The accessibility of finitely presented groups », Invent. Math., vol. 81, n^o 3,‎ 1985, p. 449–457
• Mikhaïl Gromov, « Hyperbolic Groups », dans G. M. Gersten (éditeur), Essays in group theory, New York, Springer, coll. « Math. Sci. Res. Inst. Publ. » (n^o 8), 1987, p. 75-263
• Graham Niblo, « A geometric proof of Stallings' theorem on groups with more than one end », Geom. Dedicata, vol. 105,‎ 2004, p. 61–76 (DOI 10.1023/B:GEOM.0000024780.73453.e4)
• Michail Kapovich, « Energy of harmonic functions and Gromov's proof of Stallings' theorem », Georgian Math. J., vol. 105, n^o 3,‎ 2014, p. 281–296 (arXiv 0707.4231)
• Reinhard Diestel, « The end structure of a graph: recent results and open problems », Discrete Mathematics, vol. 100, n^os 1–3,‎ 1992, p. 313–327 (DOI 10.1016/0012-365X(92)90650-5, MR 1172358).
• Reinhard Diestel et Daniela Kühn, « Graph-theoretical versus topological ends of graphs », Journal of Combinatorial Theory, series B, vol. 87, n^o 1,‎ 2003, p. 197–206 (DOI 10.1016/S0095-8956(02)00034-5, MR 1967888).
• Hans Freudenthal, « Über die Enden topologischer Räume und Gruppen », Mathematische Zeitschrift, vol. 33,‎ 1931, p. 692–713 (DOI 10.1007/BF01174375).
• Hans Freudenthal, « Über die Enden diskreter Räume und Gruppen », Commentarii Mathematici Helvetici, vol. 17,‎ 1945, p. 1–38 (DOI 10.1007/bf02566233, MR 0012214).