Théorie des singularités

Visualisation de la fonction (x, y) → x² + y²

Dans l'acception que lui a donnée René Thom, la théorie des singularités consiste à étudier des objets et des familles d'objets suivant leur degré de généricité.

Dans une famille, l'objet peut subir des changements d'états ce que l'on appelle une bifurcation.

Un exemple simple est donné par les courbes de niveau de la fonction :

$(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}$

La courbe de niveau pour une valeur positive est un cercle. La valeur 0 est singulière et pour les valeurs négatives, la courbe est vide. Cette bifurcation est générique dans le sens que toute perturbation de la fonction dans un voisinage de l'origine donnera une famille de courbes avec le même comportement.

Par exemple, si l'on considère la déformation

$(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}+tx^{3}$

alors pour des valeurs suffisamment petites de t et dans un voisinage de l'origine, les courbes de niveau de la fonction perturbée sont des ovales, un point ou vide. De ce point de vue, la théorie des singularités ne fait que reprendre et moderniser, les concepts de généricité des géomètres algébristes.

Initialement conçue comme une théorie qualitative des fonctions ou des hypersurfaces, la théorie des singularités a envahi, sous l'impulsion de Vladimir Arnold, de nombreuses branches des mathématiques et de la physique mathématique. Elle constitue surtout une façon de penser et de hiérarchiser les problèmes.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Singularity theory » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• V.I. Arnold, Catastrophe Theory, Springer-Verlag, 1992, 150 p. (ISBN 978-3-540-54811-9, lire en ligne)
• E. Brieskorn et H. Knörrer, Plane Algebraic Curves, Birkhauser-Verlag, 1986, 721 p. (ISBN 978-3-7643-1769-0)