Théorie k-catégorique

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En logique mathématique, une théorie est dite k-catégorique pour un nombre cardinal k si elle a exactement un modèle de cardinalité k (à isomorphisme près).

Théorème de Łoś-Vaught[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Łoś (pl)-Vaught — Toute théorie sans modèle fini qui est k-catégorique pour un certain cardinal k (infini) au moins égal à celui de son langage est complète.

Exemples de telles théories complètes[modifier | modifier le code]

La théorie des ensembles infinis est k-catégorique pour tout cardinal k infini.
C'est une théorie du premier ordre en calcul des prédicats égalitaire pur qui comporte une infinité dénombrable d'axiomes, soit pour tout entier n ≥ 1 l'axiome « il existe au moins n éléments distincts » :

$\exists x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\qquad \wedge _{1\leq i<j\leq n}~\neg (x_{i}=x_{j})$ .
Les quatre théories des ensembles densément ordonnés pour lesquels on précise s'ils ont ou non un premier ou un dernier élément^[1] sont ℵ₀-catégoriques (en) et leurs modèles dénombrables sont isomorphes respectivement aux ensembles ordonnés de rationnels
$\left]0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left]0,1\right]\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right]\cap \mathbb {Q}$ .

Théorème de Morley[modifier | modifier le code]

Théorème de Morley — Si une théorie dans un langage au plus dénombrable est k-catégorique pour un certain cardinal k strictement supérieur au dénombrable, alors elle l'est pour tous.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Voir aussi la démonstration que ces théories sont complètes par la méthode, autre, de l'élimination des quantificateurs, in Jean-Louis Krivine et Georg Kreisel, Éléments de logique mathématique, Théorie des modèles, Dunod 1967, p. 47-50, pdf ; ce résultat est également lié à un théorème bien connu, dû à Cantor.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Dirk van Dalen (de), Logic and Structure, "chap. 3.3 Some model theory", Springer-Verlag, 1991.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Löwenheim-Skolem

[1] Voir aussi la démonstration que ces théories sont complètes par la méthode, autre, de l'élimination des quantificateurs, in Jean-Louis Krivine et Georg Kreisel, Éléments de logique mathématique, Théorie des modèles, Dunod 1967, p. 47-50, pdf ; ce résultat est également lié à un théorème bien connu, dû à Cantor.

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