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Les démonstrations de la classe infinie

Maison en construction démolie

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L'UNIVERS INFINI

Tout va dans un même lieu; tout a été fait de la poussière, et tout retourne à la poussière.

Être ou ne pas être

Définitions

Infini, nom masculin

Ce qui est sans limites et ne peut être, par là, quantifié matériellement.
Ce qui est plus grand que tout.

Ce qui est plus grand que tout est sans limite. Cependant ce qui est plus petit que tout est également sans limite.

La confusion entre ce qui existe et qui est plus petit que tout et ce qui n'existe pas et qui peut être aussi bien plus grand que plus petit que tout conduit à des paradoxes ou des antinomies.

infini, infinie, adjectif

Sans limites dans le temps ou l'espace.
Qui est d'une grandeur, d'une intensité si grande qu'on ne peut le mesurer.

Infini (adjectif) a deux sens différents : sans limites ou non mesurable. Une mesure est effectuée par comparaison avec une unité de mesure. L'unité de mesure n'est pas mesurable.

La confusion des significations différentes de l'adjectif infini conduit à des paradoxes ou des antinomies.

Pour Leibniz, les infinitésimaux et quantités infinies étaient des entités idéales, pas de la même nature que des quantités appréciables, mais jouissant des mêmes propriétés, conformément à la loi de continuité.

Leibniz distingue les entités idéales et les quantités appréciables.

Entités idéales et les quantités appréciables sont définis dans ce qui suit tels que :

Une quantité appréciable est une masse qui peut être définie par un nombre représentant une grandeur attachée à une entité physique.

Une entité idéale est un objet mathématique.

Entités idéales et quantités appréciables jouissent des mêmes propriétés,

L'origine

En mathématiques l'origine est représentée par un point.

Un point est un objet mathématique sans dimension. Par sa définition même, un point est un objet qui n'existe pas, qui n'a pas d’existence matérielle.

L'origine est définie de manière arbitraire, n'importe où dans un espace infini.

Le nombre de points dans un espace infini est infini. Il n'existe pas d'origine absolue.

« le point dont toutes les coordonnées sont nulles » ne définit pas un point, mais tous les points qui n'ont pas de coordonnées, c'est à dire une infinité de point qui peuvent tous être choisis arbitrairement comme origine.

Notations symboliques

L'ensemble $N_{1/N}$

La symétrie est un principe universel. L'infini grand est infini ⇔ L'infini petit est infini

L'ensemble $N_{1/N}$ est défini comme suit : $N_{1/N}=1/N\cup N$

avec

$N=\{n\in \mathbb {N} ^{*}|1\leq n<\aleph _{N_{1/N}}\}$

$1/N=\{n\in \mathbb {N} ^{*}|1/\aleph _{1/{N_{1/N}}}<1/n\leq 1/1\}$

$N_{1/N}=\{n\in \mathbb {N} ^{*}|1/\aleph _{1/{N_{1/N}}}<1/n<1/1\}\cup \{n\in \mathbb {N} ^{*}|1\leq n<\aleph _{N_{1/N}}\}$

$N_{1/N}$ est l'union des nombres naturels entiers $n\geq 1$ et de l'inverse des nombres naturels entiers $n\geq 1$.

${\aleph _{N_{1/N}}}$ est un nombre aléatoire naturel entier tel que ${\aleph _{N_{1/N}}}$ est plus grand que le nombre le plus grand de $N_{1/N}$

Par symétrie $1/\aleph _{1/{N_{1/N}}}$ est un nombre aléatoire inverse d'un nombre entier naturel $n\geq 1$ tel que $1/{\aleph _{N_{1/N}}}$ est plus petit que le nombre le plus petit de $N_{1/N}$

Il existe une et une seule paire $(1/n,n)$ telle que $n=1/n$ . Cette paire est la paire unitaire et est la seule paire qui puisse être considérée comme origine de l'ensemble $N_{1/N}$

Le cardinal de l'ensemble $N_{1/N}$ est :

$\mathrm {Card} (N_{1/N})=\mathrm {Card} (1/N\cup N)=\mathrm {Card} (1/N)+\mathrm {Card} (N)-\mathrm {Card} (1/N\lor N)$

$\mathrm {Card} (N_{1/N})={\aleph _{1/{N_{1/N}}}}+{\aleph _{N_{1/N}}}-1$

Le cardinal de l'ensemble $N_{1/N}$ est la somme de deux nombres transfinis.

Le cardinal de l'ensemble $N_{1/N}$ est un nombre transfini.

$N_{1/N}$ est un ensemble infini totalement ordonné entre l'infini petit à l'infini grand.

L'intersection $1/N\lor N$ est un nombre naturel entier qui est égal à son inverse : $1/1=1$

L'intersection $1/N\lor N$ est un élément singulier unique qui est l'unité.

C'est le seul élément de l'ensemble $N_{1/N}$ qui peut être défini comme une origine.

L'ensemble ∅

Russell défini le 0 tel que «le nombre de choses qui remplissent aucune condition que rien ne remplit est définie à 0; et on peut montrer qu'il y a de telles conditions. Par exemple, rien est une proposition qui est à la fois vrai et faux. »

Le nombre de choses à la fois fini et infini est 0

0 est une entité idéale qui est à la fois fini et infini.

Le cardinal de l'ensemble ∅ est Card(∅) = 0 .

Le cardinal de l'ensemble ∅ est à la fois fini et infini.

${\{\aleph _{n}\in \mathbb {N} ^{*}\mid \aleph _{n}\notin \mathbb {N} ^{*}\}\Leftrightarrow \aleph _{n}\in \varnothing }$

$\aleph _{n}$ est un nombre transfini, un nombre aléatoire naturel entier $\geq 1$

L'ensemble ∅ est défini comme suit : ${\{\aleph _{n}\in \varnothing \mid \aleph _{n}\in \mathbb {N} ^{*}\mid \aleph _{n}\notin \mathbb {N} ^{*}\}}$

La continuité

$N_{1/N}=\{n\in \mathbb {N} ^{*}|1/\aleph _{1/{N_{1/N}}}<1/n<1/1\}\cup \{n\in \mathbb {N} ^{*}|1\leq n<\aleph _{N_{1/N}}\}$

$\varnothing _{n+1,n}=\{\aleph _{n+1},1/\aleph _{n}\}$

$(N_{1/N})_{n+1}=\varnothing \cup (N_{1/N})_{n}$

La continuité est une oscillation entre un état dispersé et un état condensé, entre matière et énergie, entre ce qui n'est pas et ce qui est.

Un grain de matière est une masse. L'ensemble $N_{1/N}$ est l'ensemble des valeurs de l'inertie d'une masse dans le temps.

L'ensemble ∅ est l'énergie absorbée par la condensation des grains de matière qui a abouti à la naissance de la masse.

La masse existe à partir de la valeur de l'inertie représentée par le nombre 1

Tout est infini

Une quantité appréciable est désignée par le nombre 1 mais cela ne signifie pas qu'il s'agit d'une quantité appréciable finie puisque tout est infini. Une quantité appréciable est identifiée par un nombre entier naturel fini : l'unité ou le nombre 1 . Liée à l'incertitude des mesures, il n'existe pas de quantité appréciable unitaire dont la quantité puisse être définie par un nombre entier $\geq$1 ou $\leq$1

Exemples

Un individu en vie est composé d'environ mille milliards de cellules vivantes. Il meurt environ 40 millions de cellules par jour. Si l'individu représenté par le nombre entier 1 est considéré comme un ensemble de cellules vivantes, le nombre de cellules vivantes n'est pas un nombre fini mais un nombre variable qui peut prendre un grand nombre de valeurs.

Autre exemple : le mètre. Le mètre désigne une unité de mesure. Or il n'existe aucune quantité appréciable finie qui permette de désigner cette unité de mesure. Les différentes définitions du mètre  :

Les longueurs étaient mesurées en référence à l'humain : le pied romain, puis le pouce, le pied, la toise. En 1668, John Wilkins publie la description d'une « mesure de longueur universelle »  : la longueur d'un pendule qui oscille avec un battement d'une seconde, soit une période de 2 secondes. En 1791 l'Académie des sciences préconise que l'unité de longueur, baptisée mètre, soit basée sur une distance mesurée au niveau de la mer correspondant à un arc de neuf degrés et demi du 45e parallèle entre Dunkerque et Montjuïc (Barcelone), puis comme étant la dix-millionième partie de la moitié de méridien terrestre. En 1889, le Bureau international des poids et mesures redéfinit le mètre comme étant la distance entre deux points sur une barre d'un alliage de platine et d'iridium. En 1960, la 11e Conférence générale des poids et mesures redéfinit le mètre comme 1650763,73 longueurs d'onde d'une radiation orangée émise par l'isotope 86 du krypton En 1983 la 17e  Conférence générale des poids et mesures redéfinit la vitesse de la lumière dans le vide à 299 792 458 m/s, ce qui a pour effet de réviser la valeur du mètre comme étant la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458 seconde. Cette dernière définition correspond à un nombre décimal composé d'un nombre infini de décimales.

En supposant que la vitesse de la lumière soit un nombre fini, la définition du mètre est relative à une infinité de nombres compris entre deux nombres finis.

Il n'existe pas une quantité appréciable ou mesurable finie.

Une entité idéale est à la fois finie ou infinie

Une entité idéale est désignée par le symbole 0 qui est l'absence de nombre. Russell défini le 0 tel que «le nombre de choses qui remplissent aucune condition que rien ne remplit est définie à 0; et on peut montrer qu'il y a de telles conditions. Par exemple, rien est une proposition qui est à la fois vrai et faux. »

Le nombre de choses à la fois fini et infini est 0 .

0 est une entité idéale qui est à la fois fini et infini.

Le cardinal de l'ensemble vide est Card(∅) = 0 . Le cardinal de l'ensemble vide est à la fois fini et infini.

L'ensemble vide est rien et est à la fois fini et infini

Exemple

Une idée est une (ou 1) entité idéale. Une idée peut être partagée une infinité de fois. Une idée même partagée reste entière. Elle peut être multipliée indéfiniment mais reste entière. Et plus elle est partagée, plus elle prend du poids et de la force.

Note

Références