Utilisateur:Geeklhem/Brouillon

Modélisation mathématique (brouillon pour la page Dynamique des populations)[modifier | modifier le code]

Bilan démographique[modifier | modifier le code]

On note N_t le nombre d'individus dans une population donnée à un temps t.

La variation du nombre d'individu lors d'une période Δt (une heure, un an...) peut être décomposée sous la forme:

$N_{t+\Delta t}-N_{t}=\Delta N=n-m+i-e$

Avec:

n: Nombre de naissances lors de Δt,
m: Nombre de morts lors de Δt,
i: Nombre d'individus qui immigrent dans la population lors de Δt,
e: Nombre d'individus qui émigrent de la population lors de Δt.

On parle de bilan démographique: n-m constitue le solde naturel et i-e le solde migratoire de la population.

Outils mathématiques[modifier | modifier le code]

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En temps discret, on peut modéliser une population par une Suite (déterministe) ou une chaîne de Markov (stochastique).

Dans de nombreux cas, la modélisation est plus aisée en temps continu ^{[réf. nécessaire]}, on utilise alors des équations différentielles. On note N(t) le nombre d'individus dans une population donnée au temps t et on utilise la dérivée temporelle de N, ${\frac {dN}{dt}}$ , pour représenter la variation instantanée du nombre d'individus.

	Déterministe	Stochastique
Temps discret	Suite	Chaîne de Markov
Temps continu	Équations différentielles	Processus de Markov à temps continu

J'aimerais ajouter un paragraphe sur la différence entre ces quatre catégories et leurs domaines d'applications (e.g. stochastique à plus de sens quand la population est faible, temps discret est plus logique pour les plantes annuelles...)

Croissance géométrique et exponentielle[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Suite géométrique et Croissance exponentielle.

Soit une population au solde migratoire nul (e+i=0). On considère que le nombre de naissance (n) et de mort (m) est dépend du nombre d'individus.

$\Delta N=n(N_{t})-m(N_{t})$

Si l'on considère cette dépendance comme linéaire, en notant λ le taux de naissance et μ le taux de mortalité (c'est à dire le nombre de naissance -respectivement de morts- par individus lors de Δt.

$\Delta N=(\lambda -\mu )N_{t}$

En temps discret, l'évolution du nombre d'individu peut être modélisée par une Suite géométrique de raison r.

$N_{t+1}=rN_{t}$

En temps continu, l'effectif de la population peut être modélisé par l'équation différentielle ordinaire suivante:

${\frac {dN}{dt}}=rN$

Ces modèles sont à la base des modèles matriciels de populations, qui en sont une version plus sophistiquée pour étudier la dynamique des populations structurées.

Croissance logistique[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Suite_logistique, Modèle de Verhulst et Modèle_évolutif_r/K.

Espèces en compétition[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : équations de Lotka-Volterra et équations de compétition de Lotka-Volterra.

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