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La Méthode de Boltzmann sur réseau est une méthode de dynamique des fluides (CFD). A la place des équations de Navier-Stokes, l'équation discrète de Boltzmann est résolue pour simuler le comportement de fluides newtonien à l'aide d'un schéma de collision-propagation. Par la simulation de ce procédé de collision et de propagation, il est possible de reproduire le comportement de fluides complexes.

Algorithme

La méthode LBM est une méthode relativement récente permettant de reproduire le comportement de fluides complexes et suscite l'intêret de nombreux chercheurs en physique numérique. C'est une alternative intéressante qui permet de simuler des phénomènes physiques complexes par sa nature mesoscopique. Son importante capacité de parallélisation la rend également attractive afin de réaliser des simulations rapides sur du matériel parallèle. La méthode de Boltzmann sur réseau est une méthode alternative de simulation d'écoulements de fluides. Contrairement à l'approche traditionnelle basée sur les équations de Navier-Stokes, la méthode consiste à discrétiser l'équation de Boltzmann, correspondant à une modélisation statistique de la dynamique des particules constituant le fluide. La méthode de Boltzmann sur réseau présente de bons avantages sur les méthodes conventionnelles, notamment pour le traitement de domaines de simulation complexes. Pour la méthode de Boltzmann sur réseau, la collision et la propagation des particules est décrite de la manière suivante:

Collision : $f_{i}^{t}({\vec {x}},t+\delta _{t})=f_{i}({\vec {x}},t)+{\frac {1}{\tau _{f}}}(f_{i}^{eq}-f_{i})\,\!$

Propagation : $f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta _{t},t+\delta _{t})=f_{i}^{t}({\vec {x}},t+\delta _{t})\,\!$

Avec i représentant les différentes directions données aux particules.

Les quantités macroscopiques du fluide sont alors définies de la manière suivante:

Calcul de la densité du fluide : $\rho ({\vec {x}},t)=\sum _{i}f_{i}({\vec {x}},t)\,\!$

Calcul de la vitesse du fluide : $\rho ({\vec {x}},t)u({\vec {x}},t)=\sum _{i}f_{i}({\vec {x}},t){\vec {e_{i}}}\,\!$

où ${\vec {e_{i}}}\,\!$ représente les vecteurs de propagation du fluide.

Maillages et classifications DnQm

Une méthode de Boltzmann sur réseau peut être appliquée sur plusieurs types de maillage (ou réseau), généralement cubique ou triangulaire, avec une discrétisation plus ou moins fine des directions de propagation.

Une méthode populaire pour classifier les différentes méthodes par maillage est le schéma DnQm. Dans ce cas, n intervient sur la dimension du domaine de simulation et m définit le nombre de directions de propagation du ou des fluides considérés. Par exemple, un schéma D3Q19 est un schéma à 3 dimensions avec 19 directions de propagation du fluide. Les plus utilisés sont les suivants : D2Q9, D3Q15, D3Q19, D3Q27.

Dimensionnement et conversion d'unités

La méthode de Boltzmman sur réseau est une technique complètement adimensionnée. Cependant, réaliser des simulations physiques imposent des résultats aux unités réelles. Le pas d'espace, généralement noté $dx\!$ et le pas de temps du réseau, généralement noté $dt\!$ doivent être convertibles en unité réelle. Cette conversion se fait généralement par le biais de nombres adimensionnés conservés comme par exemple le nombre de Reynolds .

Possibilités de la méthode de Boltzmann

La méthode de Boltzmann est une méthode très attractive pour de nombreux chercheurs dans le monde. Cela a permis d'augmenter les possibilités de la méthode depuis quelques années. Nous montrons ici quelques exemples d'améliorations :

• Mise en place de modèles pour des fluides à plusieurs phases (gazeuse, liquide ou solide) et possibilités d'intégrer plusieurs composants physiques en interaction.

• Mise en place de modèles thermiques reliés à la méthode de Boltzmann : simulation de diffusion thermique, d'échanges thermiques et de changement de phase de fluides.

Pour aller plus loin

• (en) Deutsch, Andreas and Sabine Dormann, Cellular Automaton Modeling of Biological Pattern Formation, Birkhäuser Verlag, 2004 (ISBN 978-0-8176-4281-5)
• (en) Succi, Sauro, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond, Oxford University Press, 2001 (ISBN 0-19-850398-9)
• (en) Wolf-Gladrow, Dieter, Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models, Springer Verlag, 2000 (ISBN 978-3-540-66973-9)
• (en) Sukop, Michael C. and Daniel T. Thorne, Jr., Lattice Boltzmann Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-27981-5)
• (en) Jian Guo Zhou, Lattice Boltzmann Methods for Shallow Water Flows, Springer, 2004 (ISBN 3-540-40746-4)
• (en) He,X., Chen, S., Doolen, G., A Novel Thermal Model for the Lattice Boltzmann Method in Incompressible Limit, Academic Press, 1998
• (en) Guo, Z. L., and Shu, C, Lattice Boltzmann Method and Its Applications in Engineering, World Scientific Publishing, 2013

External links

• OpenLB: Forum de discussion lié aux activités de recherche sur les LBMs, les implémentations, les évènements liés aux LBMs.
• palabos.org: Un site incluant de nombreuses ressources liées aux LBMs.
• [1]
• Liste de diffusion lié aux LBMs à Erlangen
• Modèle de Boltzmann à entropie
• dsfd.org: Site Web de la conférence annuelle DSFD
• Site Web de la conférence annuelle ICMMES