Utilisateur:Observateur01/Brouillon4

Définition en espace plat

En relativité restreinte, la distance propre entre deux évènements séparés d'un intervalle d'espace-temps de genre espace $\Delta s^{2}<0$ est définie par :

$\ell ={\sqrt {-\Delta s^{2}}}$

Si l'on se place dans un référentiel où les deux évènements sont simultanés ($\Delta t=0$), cette expression prend un sens physique très concret. Elle correspond à la distance spatiale séparant ces deux évènements :

$\ell ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}}$

Cependant, du fait de l'invariance de l'intervalle d'espace-temps, la distance propre peut également être calculée dans un référentiel inertiel où les évènements ne sont pas simultanés. L'expression générale est alors :

$\ell ={\sqrt {\Delta x'^{2}+\Delta y'^{2}+\Delta z'^{2}-c^{2}\Delta t'^{2}}}$

Deux évènements sont séparés d'un intervalle d'espace-temps de genre espace si et seulement si $\ell$ prend une valeur réelle et non nulle. La distance propre ne dépend pas du référentiel choisi, c'est un invariant relativiste, tout comme le temps propre. La distance propre peut être utilisée pour mesurer la longueur propre d'un corps uniquement si ce corps est immobile dans le référentiel inertiel où les évènements sont simultanés.

Définition en espace courbe

La formule précédente pour la distance propre suppose que l'espace-temps au sein duquel les deux évènements se produisent est plat. Par conséquent, cette formule n'est généralement pas applicable en relativité générale, où l'on considère un espace-temps courbe. Il est cependant toujours possible de définir la distance propre le long d'un chemin reliant deux évènements séparés d'un intervalle d'espace-temps de genre espace. Dans un espace-temps plat, la distance est simplement calculée le long d'un chemin rectiligne. Dans un espace-temps courbe, en revanche, il peut exister plusieurs « lignes droites » (géodésiques) entre deux évènements, et la distance propre n'est donc pas toujours définie de manière unique. La distance propre le long d'une géodésique de genre espace $\Gamma$ est donnée par l'intégrale curviligne :

$\ell =\int _{\Gamma }{\sqrt {-ds^{2}}}$

où $ds^{2}$ est le carré de l'intervalle d'espace-temps infinitésimal. Soit, en introduisant le tenseur métrique $g_{\mu \nu }$ de signature +−−− et les éléments infinitésimaux $dx^{\mu }$, et en utilisant la convention de sommation d'Einstein :

$\ell =\int _{\Gamma }{\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}$

Dans le cas où le tenseur métrique est normalisé pour retourner un temps, un facteur $c$ doit être placé devant l'intégrale. Notons également que le signe − dans la racine disparaît si la signature -+++ est utilisée.

Définition

La longueur propre ou longueur au repos d'un corps correspond à la longueur mesurée par un observateur inertiel au repos par rapport à ce corps, au moyen d'une règle ordinaire. La mesure des deux extrémités de l'objet n'a pas besoin d'être simultanée, l'objet étant immobile dans le référentiel de mesure, la position de ses extrémités est indépendante du temps.

Cependant, pour un observateur en mouvement rectiligne uniforme par rapport à l'objet, la mesure des deux extrémités doit être faite au même instant, c'est à dire coïncider avec deux évènements simultanés, du fait que la position des extrémités varie constamment au cours du temps. En raison de la contraction des longueurs, la longueur mesurée par cet observateur sera plus courte que la longueur au repos $L_{0}$ et sera donnée par :

$L={\frac {L_{0}}{\gamma }}$

où $\gamma \geq 1$ est le Facteur de Lorentz.

La longueur propre associée à un corps doit généralement être distinguée de la distance propre entre deux évènements. Dans le cas de la longueur propre, les extrémités au repos peuvent être prises à des instants différents, tandis que la distance propre correspond nécessairement à une distance mesurée entre deux évènements simultanés.