Équation de Simon

L'équation de Simon est une équation empirique qui décrit la variation du point de fusion d'une substance en fonction de la pression. Elle a été proposée par Franz Simon et Gunther Glatzel en 1929.

Équation originelle

L'équation de Simon s'écrit :

$P=P_{\star }\left[\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{c}-1\right]\quad$ ou $\quad T=T_{0}\,\left(1+{\frac {P}{P_{\star }}}\right)^{\frac {1}{c}}$

où :

$T$ et $P$ sont la température et la pression ($T$ est le point de fusion à la pression $P$),

$T_{0}$ est le point de fusion à pression nulle,

$P_{\star }$ (exprimé en unités de pression, positif) et $c$ (sans dimension, supérieur à 1) sont des paramètres empiriques.

En pratique, $T_{0}$ peut souvent être confondu avec le point de fusion à pression ordinaire.

Métastabilité

En dessous du point triple solide-liquide-gaz ($P<P_{\mathrm {T} }$, y compris $\,P<0$), l'équation de Simon décrit le prolongement métastable de la courbe de fusion.

L'équation de Simon vérifie le théorème de Nernst, selon lequel $\,{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} T}}\to 0\,$ quand $\,T\to 0$. De fait, il a été démontré en 2016 que l'équation de Simon est asymptotiquement exacte quand $\,T\to 0$.

Dédimensionnalisation et états correspondants

Dédimensionnalisation

Il peut être commode de dédimensionnaliser l'équation de Simon en posant :

$P'=P+P_{\star }\,,\quad {\tilde {P}}={\frac {P'}{P_{\star }}}\,,\quad {\tilde {T}}={\frac {T}{T_{0}}}$.

L'équation de Simon s'écrit alors :

${\tilde {P}}={\tilde {T}}^{c}$.

Il est alors naturel de dédimensionnaliser aussi les grandeurs thermodynamiques que sont l'entropie de fusion $\Delta S$ et le volume de fusion $\Delta V$, en posant :

$\Delta {\tilde {S}}={\frac {\Delta S}{R}},\quad \Delta {\tilde {V}}={\frac {P'}{R\,T}}\,\Delta V$.

La relation de Clapeyron $\,\mathrm {d} P/\mathrm {d} T=\Delta S/\Delta V\,$ s'écrit alors :

${\frac {\Delta {\tilde {S}}}{\Delta {\tilde {V}}}}=c$.

États correspondants

Pour les 21 substances examinées par Faizullin et Skripov, la différence $\,\Delta {\tilde {S}}-\Delta {\tilde {V}}\,$ ne varie qu'entre 0,37 et 0,74, et pour seulement 5 d'entre elles cette différence s'écarte de 0,61 de plus que 10 %. On observe donc une sorte de loi des états correspondants :

$\Delta {\tilde {S}}-\Delta {\tilde {V}}\approx 0{,}61$

donc :

$\Delta {\tilde {S}}\approx 0{,}61\,{\frac {c}{c-1}}\,,\quad \Delta {\tilde {V}}\approx {\frac {0{,}61}{c-1}}$.

Extensions

Pour approcher au mieux les résultats expérimentaux, on peut complexifier l'équation en écrivant, sous forme dédimensionnalisée :

${\tilde {P}}={\tilde {T}}^{a}f({\tilde {T}})$

où la fonction $f$ implique un ou plusieurs paramètres supplémentaires, et $\,f({\tilde {T}})\to 1\,$ quand ${\tilde {T}}\to 1$.

Faizullin et Skripov proposent deux formes pour la fonction $f$ :

$f({\tilde {T}})=\mathrm {e} ^{b\,({\tilde {T}}-1)}$

et :

$f({\tilde {T}})=1-b\,{\tilde {T}}\,({\tilde {T}}-1)$.

Bibliographie

• (en) Stanley E. Babb, Jr., « Parameters in the Simon Equation Relating Pressure and Melting Temperature », Reviews of Modern Physics, vol. 35,‎ avril-juin 1963, p. 400-413 (DOI 10.1103/RevModPhys.35.400)
• Louis Bosio, André Defrain et Israël Epelboin, « Changements de phase du gallium à la pression atmosphérique », Journal de Physique, vol. 27, n^os 1-2,‎ 1^er janvier 1966, p. 61-71 (DOI 10.1051/jphys:01966002701-206100, lire en ligne [PDF]), p. 66-67
• Bernard Le Neindre, Effets des hautes et très hautes pressions, Techniques de l'ingénieur, 10 décembre 1990, 36 p. (lire en ligne), p. 23-25
• Jean-Pierre Petitet, Action de la pression sur les édifices moléculaires solides, Techniques de l'ingénieur, 10 octobre 2003, 13 p. (lire en ligne), p. 2