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Dans l'étude des séries de Fourier , les constantes de Lebesgue permettent de quantifier la qualité de l'approximation.
On se place, sans perte de généralité , sur l'intervalle [–π, π] . On considère une fonction f intégrable sur cet intervalle, et la somme partielle d'ordre n de sa série de Fourier :
S
n
(
f
,
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
D
n
(
x
−
t
)
d
t
,
avec
D
n
(
t
)
=
sin
(
2
n
+
1
)
t
2
sin
t
2
{\displaystyle S_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)~{\rm {d}}t,\quad {\text{avec}}\quad D_{n}(t)={\frac {\sin(2n+1){\frac {t}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}}
(noyau de Dirichlet ).
Si, pour tout t réel, |f (t )| ≤ 1 , alors :
|
S
n
(
f
,
x
)
|
⩽
1
π
∫
0
π
|
D
n
(
t
)
|
d
t
=:
L
n
{\displaystyle |S_{n}(f,x)|\leqslant {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }|D_{n}(t)|\,\mathrm {d} t=:\mathrm {L} _{n}}
.
C'est cette valeur Ln qui est appelée la n -ième constante de Lebesgue. Elle est optimale , même en se restreignant aux fonctions f continues [ 1] .
Léopold Fejér [ 2] en a trouvé une autre expression :
L
n
=
1
2
n
+
1
+
2
π
∑
m
=
1
n
1
m
tan
m
π
2
n
+
1
{\displaystyle \mathrm {L} _{n}={\frac {1}{2n+1}}+{\frac {2}{\pi }}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m}}\tan {\frac {m\pi }{2n+1}}}
.
Les trois premières valeurs des constantes de Lebesgue sont[ 3] :
L
0
=
1
{\displaystyle \mathrm {L} _{0}=1}
;
L
1
=
1
3
+
2
3
π
≈
1,435
991
{\displaystyle \mathrm {L} _{1}={\frac {1}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}\approx 1{,}435991}
(suite A226654 de l'OEIS ) ;
L
2
=
1
5
+
25
−
2
5
π
≈
1,642
188
{\displaystyle \mathrm {L} _{2}={\frac {1}{5}}+{\frac {\sqrt {25-2{\sqrt {5}}}}{\pi }}\approx 1{,}642188}
( A226655 ).
On sait que[ 3] :
L
n
=
4
π
2
ln
(
2
n
+
1
)
+
c
+
o
(
1
)
{\displaystyle \mathrm {L} _{n}={\frac {4}{\pi ^{2}}}\ln(2n+1)+c+o(1)}
avec
c
=
4
π
2
(
∑
k
=
1
∞
2
ln
k
4
k
2
−
1
−
Γ
′
(
1
/
2
)
Γ
(
1
/
2
)
)
≈
0,989
433
{\displaystyle c={\frac {4}{\pi ^{2}}}\!\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2\ln k}{4k^{2}-1}}-{\frac {\Gamma '(1/2)}{\Gamma (1/2)}}\right)\approx 0{,}989433}
( A243277 ), où Γ est la fonction gamma .
↑ Voir par exemple Franck Boyer, « Analyse Fonctionnelle, TD 4 : Grands théorèmes de l'analyse fonctionnelle (exercices corrigés) » , exercice 10, ou cet exercice corrigé du chapitre « Théorème de Banach-Steinhaus » sur Wikiversité .
↑ Léopold Fejér, « Sur les singularités de la série de Fourier des fonctions continues », ASENS , vol. 28, 1911 , p. 3-104 (lire en ligne ) (p. 101-103).
↑ a et b (en) Eric W. Weisstein , « Lebesgue Constants », sur MathWorld .