Discussion:Pi/LSV 16165

Archivage de la discussion

Cette page contient l'archivage de la discussion d'une proposition d'anecdote.

39 nuances de pi

Proposition validée. L’anecdote qui suit, proposée par Herr Satz, a été validée par Fanfwah et va être déplacée sur la page de préparation des publications, pour être ensuite insérée automatiquement sur la page d’accueil le 14.03.2019 (journée de pi) :

• Bien qu'on connaisse des milliards de décimales de π, une soixantaine suffisent pour calculer la circonférence d'une sphère de l'ordre de grandeur de l'univers observable à partir de son diamètre, à la longueur de Planck près.

Herr Satz, voilà déjà ta dixième proposition, faite pile 2432 jours depuis ta première . Merci de participer aux propositions. GhosterBot ^{(10100111001)}

Proposant : — Hr. Satz 13 octobre 2018 à 21:52 (CEST)

Discussion :
Quand on y réfléchit ce n'est pas si étonnant que ça, mais au premier abord, quand on n'y a jamais pensé, ça surprend. Enfin moi, j'en suis resté baba.

Si l'anecdote paraît trop longue :

• La première partie de la phrase (« Bien qu'on connaisse des milliards de décimales ») pourrait sans doute être supprimée sans trop de dommage (même si ça renforce le contraste). L'anecdote deviendrait alors : « Les 39 premières décimales de π suffisent... ».
• Les derniers mots de la phrase (« à partir de son rayon ») sont sans doute un peu lourds, mais en les retirant, je ne suis pas sûr que la phrase ait encore un sens (mais en même temps c'est la raison d'être de π, calculer la circonférence d'un cercle connaissant son rayon, donc ça peut peut-être être implicite).

À 3 décimales près, les geeks qui fêtent la journée de π n'en pouvaient plus . — Hr. Satz 13 octobre 2018 à 21:52 (CEST)

• Voilà une vérité que martèle depuis des années, elle mérite de figurer en entête de Wikipédia. Borvan53 (discuter) 13 octobre 2018 à 22:55 (CEST)
• Ce qui me gêne dans cette anecdote, c'est qu'on ne connaît certainement pas le rayon de l'univers avec une précision à 39 décimales, et qu'il est donc hors de question de calculer sa circonférence à un atome près. Par ailleurs, qu'est-ce que c'est que la circonférence d'une sphère ? — Ariel (discuter) 14 octobre 2018 à 21:56 (CEST)

  On parle de l’univers observable. Et la circonférence d'une sphère me semble intuitivement une notion tout à fait rigoureuse. Borvan53 (discuter) 14 octobre 2018 à 22:51 (CEST)

  Circonférence d'une sphère à ajouter sur la page circonférence ? - Cymbella (discuter chez moi) - 14 octobre 2018 à 23:02 (CEST)

  @Ariel Provost j'ai du mal à comprendre ton objection. Si je prends quelques sources qui citent ces 39 décimales [1][2], les données d'entrée sont que l'univers observable a un rayon inférieur à $2\times 10^{25}$ m et que l'atome d'hydrogène a un rayon supérieur à $10^{-12}$ m. Cela signifie que l'univers observable a un diamètre inférieur à ${\frac {2\times 10^{25}}{10^{-12}}}=2\times 10^{37}$ atomes d'hydrogène. Partant de là, il faut bien multiplier ce diamètre par une approximation de π à ${\frac {1}{2\times 10^{37}}}=5\times 10^{-38}$ près pour que, si on note $\pi '=\pi \pm 5\times 10^{-38}$ :

  ${\begin{aligned}\pi '\cdot D&=\left(\pi \pm 5\times 10^{-38}\right)\cdot D\\&=\pi \cdot D\pm \left(5\times 10^{-38}\cdot D\right)\\&=\pi \cdot D\pm \left(5\times 10^{-38}\cdot 2\times 10^{37}\ {\text{atomes d'hydrogène}}\right)\\\pi '\cdot D&=\pi \cdot D\pm 1\ {\text{atome d'hydrogène}}\\\end{aligned}}$

  Pour rendre cette précision de $5\times 10^{-38}$ sous la forme d'un nombre de décimales, on aurait pu dire qu'une approximation de π à 38 décimales (c'est-à-dire à $10^{-38}$ près) était suffisante, mais je suppose qu'on a mis une marge d'une décimale supplémentaire.

  Le but n'est, évidemment, pas d'exprimer la circonférence de l'univers avec une précision d'un atome d'hydrogène par rapport à sa circonférence réelle. Le but c'est de dire que si je pars d'un rayon connu avec une certaine précision, il suffit d'avoir une approximation de π à 39 décimales pour ne pas dégrader la précision de la circonférence au-delà d'un atome d'hydrogène, par rapport à la précision initiale du rayon.

  Alors certes on pourrait améliorer la formulation de l'anecdote pour mieux rendre compte de cela, mais je ne pense pas que ce soit très utile, parce que ça rendrait tout ça assez lourd, pour un bénéfice pas évident. — Hr. Satz 15 octobre 2018 à 01:25 (CEST)

  Vous faites comme vous voulez, mais je continue à trouver ce type de raisonnement scabreux. L'incertitude relative sur la circonférence ($L=\pi D$), ${\frac {\sigma _{L}}{L}}$, est donnée par $\left({\frac {\sigma _{L}}{L}}\right)^{2}=\left({\frac {\sigma _{\pi }}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{D}}{D}}\right)^{2}$ où ${\frac {\sigma _{\pi }}{\pi }}$ est l'incertitude relative sur la valeur numérique de $\pi$ et ${\frac {\sigma _{D}}{D}}$ celle sur le diamètre. Il suffit que la première soit dix fois plus faible (mettons cent pour faire bonne mesure) que la seconde pour que l'imprécision de $\pi$ n'ait plus d'influence significative sur l'incertitude $\sigma _{L}$. Autrement dit, si l'on connaît $D$ à 1 % près (et je suis généreux), il suffit d'une valeur numérique de $\pi$ précise à 0,01 % voire 0,1 % pour que ça ne fasse pas de différence significative avec la valeur exacte. Autrement dit encore, si on prend $\pi$ = 3,1416 ou les 39 décimales, ça ne change le résultat $L$ que d'une valeur toute petite devant l'incertitude. C'est un raisonnement classique en analyse des erreurs. — Ariel (discuter) 15 octobre 2018 à 06:55 (CEST)

  P.S. Je ne me rappelais plus qu'on pouvait parler de la circonférence d'une sphère mais je suis bête, il est classique de parler de la circonférence terrestre.

• Peut-être vaudrait-il mieux mettre « suffirait », façon d'évoquer les conditions implicites à remplir pour que ce calcul ait un sens. Et « diamètre », comme le font certaines sources, plutôt que « rayon », puisqu'il y a aussi un « 2 » dans la formule. --Fanfwah (discuter) 15 octobre 2018 à 08:55 (CEST)
  • D'accord avec Fanfwah ; « à un atome d'hydrogène près » sous-entend « au diamètre d'un atome d'hydrogène près » et « à partir de son diamètre » sous-entend qu'on connaît parfaitement les deux diamètres. Quant à savoir si l'univers observable, tout comme l'atome d'hydrogène, est une boule ou non, un ellipsoïde de révolution ou non, un sphéroïde ou non, un patatoïde ou non (c'est mal dit, mais c'est pour glisser quatre ellipses), peu importe pour l'anecdote. Touchatou (discuter) 16 octobre 2018 à 00:59 (CEST)
• « circonférence de l'univers observable » est une formulation vague et le 2x10^25 m donné plus haut est complètement dans les choux : 2 × 10²⁵ m, ça fait tout juste 2,2 milliards d'années-lumière (2,2 Ga.l.) ! Quel que soit le type de distance choisi, cette valeur est très sous-estimée. Si on utilse la distance de voyage de la lumière, le rayon est de 13,8 Ga.l., soit 1,3 × 10²⁶ m, déjà plus de 6 fois plus que le "maximum" donné plus haut ; si on utilise la distance actuelle des objets les plus lointains dont on reçoit actuellement la lumière, le rayon est de 46,5 Ga.l. (comme indiqué dans l'article Univers observable !), soit 4,4 × 10²⁶ m ! Bref, ça change certainement le résultat d'une ou deux décimales. Si vous voulez faire une telle anecdote, alors trouvez une source fiable et à jour sur le sujet : la source donnée plus haut, datant visiblement de 1984, n'est pas du tout à jour ; la cosmologie a sacrément évolué depuis, notamment avec la mise en évidence de l'accélération de l'expansion de l'univers en 1998... SenseiAC (discuter) 16 octobre 2018 à 03:02 (CEST)

  @SenseiAC : Le problème c'est que ce n'est pas une anecdote de cosmologie. Il s'agit d'une expérience de pensée qui consiste à imaginer le plus grand nombre possible de décimales qui pourraient être nécessaires dans une application concrète. La circonférence de l'univers est un prétexte : c'est juste que quelle que soit la circonférence qu'on souhaite calculer, elle sera forcément plus petite. Que tu multiplies par 20 la donnée d'entrée sur la taille de l'univers, ça ne change pas grand chose, juste une ou deux décimales supplémentaires comme tu le dis toi-même. Que ce soit 39 ou 40 ou 41, ce n'est clairement pas des milliards (ou même des milliers de milliards). Le plus important c'est l'esprit, pas la lettre. Soit dit en passant, l'autre donnée d'entrée sur la taille de l'atome d'hydrogène est également très sous-estimée, probablement au moins du même ordre de grandeur que la sous-estimation de la taille de l'univers, donc ça doit compenser et on doit rester à 39 décimales.

  @Ariel Provost : Même réponse qu'à SenseiAc. Dans l'optique de cette expérience de pensée, on imagine le cas où on aurait besoin du maximum de décimales possibles. Le scénario où on aurait besoin du maximum de décimales, c'est celui où ${\frac {\sigma _{D}}{D}}$ est nul. Bien sûr c'est impossible, mais c'est le cas limite. Dans ce cas limite, on a $\sigma _{L}=L\cdot {\frac {\sigma _{\pi }}{\pi }}=\sigma _{\pi }\cdot D$ et on retombe sur mon message précédent : si on veut que $\sigma _{L}$ soit inférieur à $10^{-12}$ m, il faut que $\sigma _{\pi }$ soit inférieur à $5\times 10^{-38}$.

  Du coup je conçois que la formulation de l'anecdote puisse laisser à désirer vis à vis de vos deux remarques (je m'étais essentiellement conformé aux sources, qui disent toutes à peu près la même chose, mais peut-être ces sources sont-elles trop vulgarisatrices). Le conditionnel proposé par Fanfwah est un premier pas (merci pour la suggestion), il y a sûrement mieux à faire. Ou bien retirer cette anecdote s'il n'est pas possible de trouver une formulation qui convienne à tout le monde (suffisamment percutante tout en restant juste et pertinente scientifiquement). — Hr. Satz 16 octobre 2018 à 14:00 (CEST)

  Hr. Satz, trop bonne pour la retirer ! L'idéal serait de trouver une source récente avec un exemple actualisé. À défaut ou en attendant, dans l'article, on peut déjà « dater » l'exemple : avec le contexte, on a la place pour le faire tout en gardant l'esprit, ou au moins on peut essayer (d'ailleurs j'ai essayé).

  Dans l'anecdote, c'est plus délicat, si on met juste « dans les années 1990, les 39 premières suffisaient [...] », j'ai peur qu'on suscite plus de perplexité et de répulsion que de curiosité et d'incitation. Et si on mettait plutôt   [...] quelques dizaines suffisent [...] ? On reste cohérent avec les sources, on est juste moins précis, mais ça suffit à la fois pour « l'esprit » et pour recouvrir les quelques décimales supplémentaires que le progrès des connaissances réclamerait éventuellement. --Fanfwah (discuter) 16 octobre 2018 à 17:19 (CEST)

   Herr Satz : je ne critique pas le fond de l'anecdote, mais ce n'est pas pour autant qu'il faut se baser sur des données fausses pour autant. À défaut de sources plus récentes, je pourrais accepter une formulation factuelle du style « Dans les années 1980, X a calculé que, étant donné le rayon de l'univers observable estimé à l'époque, les 39 premières décimales de pi suffiraient pour calculer la circonférence de l'univers observable à un atome d'hydrogène près. » (enfin, aux autres remarques près sur le « à un atome d'H près » etc., qui peuvent s'intégrer dans cette reformulation, et à la répétition près de « univers observable », qu'il serait mieux de pouvoir reformuler). SenseiAC (discuter) 16 octobre 2018 à 23:18 (CEST)

  Merci pour les suggestions. Comme calcul plus récent, j'ai trouvé celui de Roger W. Sinnott dans Sky & Telescope en 2006 [3][4], avec 1,3 × 10²⁶ m pour l'univers, mais qui va jusqu'à une précision du quark au lieu de l'atome, ce qui donne 45 décimales. Néanmoins c'est un tout petit encart dans une revue de vulgarisation, donc pas génial comme source. Et on n'est toujours pas aux 4,4 × 10²⁶ m, taille pour laquelle je ne pense pas que quelqu'un ait publié un nouveau calcul du nombre de décimales de pi nécessaires.

  J'ai aussi trouvé le résultat de 45 décimales dans (en) Joseph Elich et Lawrence O. Cannon, Precalculus, 1989 (ISBN 0673188310), p. 10, avec une précision à l'électron, mais on ne précise pas les données d'entrées sur la taille de l'univers et de l'électron.

  Franchement, je trouve que ce n'est plus très intéressant (comme anecdote en LSV) s'il faut faire autant de caveats sur la date, etc. (quoique je comprends toutes ces précautions, bien entendu). Bref, je pense qu'il vaudrait mieux annuler cette proposition.

  Ou bien alors il faudrait trouver avec certitude qui est le premier à avoir fait cette remarque, et lui attribuer. — Hr. Satz 19 octobre 2018 à 13:03 (CEST)

  @SenseiAC, @Fanfwah, @Cymbella, @Borvan53, @Ariel Provost

  Et je crois que c'est Simon Newcomb, en 1881 déjà [5] : « Ten decimals are sufficient to give the circumference of the earth to the fraction of an inch, and thirty decimals would give the circumference of the whole visible universe to a quantity imperceptible with the most powerful microscope. » (repris notamment par John Casey en 1885)

  En 2014, Donald Byrd, p. 9 discute cette assertion à la lumière des avancées de la science depuis 1881. Il calcule combien il faut de décimales de pi pour un univers observable de 100 Ga.l. soit 9,46 × 10²⁶ m, et une précision de la longueur de Planck ; il arrive à environ 60 décimales.

  Avec Newcomb et Byrd, je pense avoir fait à peu près l'alpha et l'omega de cette histoire de décimales de pi et d'univers. C'est peut-être cela qu'il faudrait retenir pour l'anecdote (soit Newcomb, soit Byrd, soit les deux) — après avoir retravaillé l'article, bien entendu. Qu'en pensez-vous ? — Hr. Satz 19 octobre 2018 à 13:33 (CEST)

  En version courte : oui. --Fanfwah (discuter) 21 octobre 2018 à 10:26 (CEST)

• On peut tenter :  Combien de décimales de π faudrait-il pour calculer le périmètre de tout l'univers visible ,connaissant son rayon, avec la précision du diamètre d'un proton? La réponse est : 42. (ça tombe bien, il y a un rapport de 10³ entre l'hydrogène et son proton ). Michelet-密是力 (discuter) 21 octobre 2018 à 12:01 (CEST)

  Reformulation fort sympathique ! Ça serait pour moi mais, au vu des échanges ci-dessus, je laisserais Hr. Satz reformuler en privilégiant la rigueur. Borvan53 (discuter) 21 octobre 2018 à 17:35 (CEST)

  Vu que Newcomb et Byrd ne parlent pas de proton, non (et le lien sur le 42, pure coïncidence, est hors sujet, même si j'ai bien compris l'allusion). Pourquoi ne pas rester factuels avec ce qu'ils disent ? Et en particulier, garder la référence la plus récente, qui (pour paraphraser Hr. Satz) utilise l'alpha et l'oméga des tailles estimables ayant un sens, l'univers visible et l'échelle de Planck. 60 décimales, ça me semble quand même remarquable, quand on sait qu'il faudrait 78 à 80 chiffres avant la virgule pour écrire le nombre de protons dans l'univers observable (estimé à environ 10⁷⁸~10⁸⁰). SenseiAC (discuter) 21 octobre 2018 à 18:13 (CEST)

•  Pour mesurer une sphère de l'ordre de grandeur de l'univers observable, les 39 premières décimales de π suffisent pour calculer, à un atome d'hydrogène près sa circonférence. C'est quand même étonnant.--Io Herodotus (discuter) 26 octobre 2018 à 18:11 (CEST)

  Ah bon, c'est étonnant que 10³⁹ soit un très grand nombre (en gros, le rapport du rayon de l'univers à celui de l'atome d'hydrogène) ? — Ariel (discuter) 26 octobre 2018 à 18:46 (CEST)

  Je ne vois pas trop où se trouve la référence, comme π est en gras, c'est là qu'on devrait la trouver. Cela me fait penser à une autre anecdote que je vais peut-être soumettre "l'homme au centre de l'univers" entre l'infiniment petit et l'infiniment grand. --Io Herodotus (discuter) 31 octobre 2018 à 15:10 (CET)

• Les Mathématiques à la puissance de l'Univers. Galilée aurait adoré.--Xav ^[talk-talk] 3 novembre 2018 à 01:38 (CET)
• Ce qui compte c'est la taille de l'univers observable qui devrait donc être en gras, le reste n'est que mathématique. --Io Herodotus (discuter) 23 novembre 2018 à 04:58 (CET)

   Io Herodotus : non, ce n'est pas l'esprit de l'anecdote. SenseiAC (discuter) 28 novembre 2018 à 01:52 (CET)

  Bon soit, je suis tout à fait d'accord pour publier cette anecdote, mais où mettre la démonstration ?--Io Herodotus (discuter) 28 novembre 2018 à 03:20 (CET)

• (et j'ai lu les remarques !) ; il reste 4 mois pour affiner la formulation si certains l'estiment nécessaire. --[[Utilisateur:Pa2chant--Fanfwah (discuter) 5 décembre 2018 à 15:42 (CET).|Pa2chant.]] (discuter) 2 décembre 2018 à 17:34 (CET)

J'ai complété l'article avec les données et les sources amenées par Herr Satz, on peut donc reprendre dans le LSV les calculs les plus récents (Byrd). Par ailleurs, à mon avis Ariel a raison sur un point, 39 chiffres et a fortiori 60, ça permet de faire de très grands nombres et ça n'a rien de très étonnant si on ne souligne pas la part infime que ça représente dans les décimales connues de Pi, comme le faisait la proposition initiale. Donc je verrais bien qqc. comme :

•  Bien qu'on connaisse des milliards de décimales de π, une soixantaine suffisent pour calculer la circonférence d'une sphère de l'ordre de grandeur de l'univers observable à partir de son diamètre, à la longueur de Planck près.

--Fanfwah (discuter) 4 décembre 2018 à 16:16 (CET)

• correct, sourcé, bien rédigé. C'est du coup l'hypothèse des grands nombres (« L'ordre de grandeur de 10^60 est récurrent dans ce tableau ») que l'on voit apparaître. On peut mettre le lien sur « une soixantaine », peut-être? Michelet-密是力 (discuter) 5 décembre 2018 à 08:42 (CET)

  Je ne sais que dire, c'est le genre de « rapprochement inédit » qui ne me gêne pas dans un LSV, mais cet article a quelques méchants bandeaux : je passe mon tour sur cette question. --Fanfwah (discuter) 5 décembre 2018 à 15:42 (CET)

  On peut déjà demander au proposant : Herr Satz, quid d'une wikification vers Hypothèse des grands nombres ? Et plus généralement, quid de la dernière formulation ? --Fanfwah (discuter) 6 décembre 2018 à 12:42 (CET)

  « quelques méchants bandeaux » qui dataient de 2013 et l'article n'a plus rien à voir () je les ai virés, si un autre relecteur estime que dans son état actuel il s'agit d'une ébauche ou il manque de sources, il suffira de le signaler (et de signaler les passages correspondants). Michelet-密是力 (discuter) 6 décembre 2018 à 18:22 (CET)

Ok, en l'absence d'objection, je valide en intégrant la dernière proposition de Micheletb. --Fanfwah (discuter) 7 décembre 2018 à 12:56 (CET)

Discussion de l'anecdote archivée. --GhosterBot ^{(10100111001)} 7 décembre 2018 à 13:01 (CET)

 Herr Satz : ton anecdote proposée le 2018-10-13 21:52:00 a été acceptée. GhosterBot ^{(10100111001)} 7 décembre 2018 à 13:02 (CET)