Constante de Gauss

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En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de 2^[1]^,^[2]^,^[3] :

G={\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}\approx 0{,}8346268

^{[N 1]}.

L'éponyme de cette constante est le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) car il a découvert le 30 mai 1799^[4]^,^[5]^,^[6]^,^{[N 2]} à Brunswick^{[N 2]} que :

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}

.

Relation avec d'autres constantes[modifier | modifier le code]

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :

G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {\mathrm {B} } \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)

soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

G=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/(2\pi )^{3/2}

et puisque $π$ et $Γ(1/4)$ sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

Constantes de la lemniscate[modifier | modifier le code]

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate.

La première est
$L_{1}=\pi G={\frac {L}{2}}$

où $L={\frac {\left(\operatorname {\Gamma } (1/4)\right)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}$ est la longueur de la lemniscate de Bernoulli de paramètre $a = 1$
La seconde est
$L_{2}={\frac {1}{2G}}$ .

Autres formules[modifier | modifier le code]

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

G=\vartheta _{01}^{2}({\rm {e}}^{-\pi })

.

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

G={\sqrt[{4}]{32}}~{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}

.

La constante est aussi donnée par un produit infini :

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right)

.

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …]^{[N 3]}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gauss's constant » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Pour les 20 000 premiers chiffres décimaux, voir ce lien de la suite A014549 de l'OEIS.
↑ ^{a et b} Sont retenus, la date et le lieu que Gauss a notés (n. 98) dans son Journal de mathématiques (1796-1814)^[7]. Borwein et Bailey ont publié un fac-similé de la note manuscrite de Gauss^[8]. La note, en latin, est la suivante : « Terminum medium arithmetico-geometricum inter $1$ et ${\sqrt {2}}$ esse $={\frac {\pi }{\varpi }}$ usque ad figuram undecimam comprobavimus, quare demonstrata prorsus novus campus in analysis certo aperietur. » Pour plus de détails, voir le § Histoire de l'article sur la moyenne arithmético-géométrique.
↑ Pour les 20 000 premiers termes, voir ce lien de la suite A053002 de l'OEIS.

Références[modifier | modifier le code]

↑ Gourdon 2020, p. 190.
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Constant », sur MathWorld.
↑ (en) Keith B. Oldham, Jan C. Myland et Jerome Spanier, An Atlas of Functions : With Equator, New York, NY, Springer, 2009, 748 p. (ISBN 978-0-387-48806-6, lire en ligne), p. 15.
↑ Barnett 2020, p. 47.
↑ Cox 1984, p. 281.
↑ Khelif 2010.
↑ Eymard et Lafond 1956, n. 98, p. 40-41.
↑ Borwein et Bailey 2008, fig. 1.2, p. 15.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

[Barnett 2020] (en) Janet Heine Barnett, « A Gaussian tale for the classroom », dans Maria Zack et Dirk Schlimm (éd.), Research in history and philosophy of mathematics : the CSHPM 2018 volume, Cham, Birkhäuser, coll. « Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics / Société canadienne d'histoire et de philosophie des mathématiques » (n^o 5), janvier 2020, 1^re éd., XIII-172 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-3-030-31196-4, EAN 9783030311964, OCLC 1240212492, DOI 10.1007/978-3-030-31298-5, SUDOC 253878772, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 9, p. 139-155.
[Borwein et Bailey 2008] (en) Jonathan M. Borwein et David H. Bailey, Mathematics by experiment : plausible reasoning in the 21^st century, Wellesley, A. K. Peters, hors coll., octobre 2008, 2^e éd. (1^re éd. juin 2004), XI-377-[4], 15,2 × 22,9 cm (ISBN 978-1-56881-442-1, EAN 9781568814421, OCLC 494547277, DOI 10.1201/b10704, SUDOC 130966479, présentation en ligne, lire en ligne).
[Cox 1984] (en) David A. Cox, « The arithmetic-geometric mean of Gauss », L'Enseignement mathématique, 2^e série, t. XXX,‎ 1984, p. 275-330 (OCLC 937363834, DOI 10.5169/seals-53831, lire en ligne [PDF]).
[Eymard et Lafond 1956] Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, « Le Journal mathématique de Gauss : traduction française annotée », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, t. IX, n^o 1,‎ janvier-mars 1956, p. 21-51 (OCLC 4649261821, DOI 10.3406/rhs.1956.4346, JSTOR 23904695, lire en ligne [PDF]).
[Gourdon 2020] Xavier Gourdon, Analyse, Paris, Ellipses, coll. « Les maths en tête » (n^o 1), avril 2020, 3^e éd. (1^re éd. avril 1994), 452 p., 17,5 × 26 cm (ISBN 978-2-340-03856-1, EAN 9782340038561, OCLC 1160201780, BNF 46557782, SUDOC 24513283X, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

[Khelif 2010] Hamza Khelif, « Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli », tribune , sur Images des mathématiques, CNRS, 30 juin 2010.
(en) « Gauss's constant » [« constante de Gauss »] , sur WolframAlpha, Wolfram Research.
(en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate Constant », sur MathWorld.

Portail de l'analyse

[4] Pour les 20 000 premiers chiffres décimaux, voir ce lien de la suite A014549 de l'OEIS.

[date_et_lieu-10] {a et b} Sont retenus, la date et le lieu que Gauss a notés (n. 98) dans son Journal de mathématiques (1796-1814)^[7]. Borwein et Bailey ont publié un fac-similé de la note manuscrite de Gauss^[8]. La note, en latin, est la suivante : « Terminum medium arithmetico-geometricum inter $1$ et ${\sqrt {2}}$ esse $={\frac {\pi }{\varpi }}$ usque ad figuram undecimam comprobavimus, quare demonstrata prorsus novus campus in analysis certo aperietur. » Pour plus de détails, voir le § Histoire de l'article sur la moyenne arithmético-géométrique.

[11] Pour les 20 000 premiers termes, voir ce lien de la suite A053002 de l'OEIS.

[Gourdon2020190-1] Gourdon 2020, p. 190.

[2] (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Constant », sur MathWorld.

[3] (en) Keith B. Oldham, Jan C. Myland et Jerome Spanier, An Atlas of Functions : With Equator, New York, NY, Springer, 2009, 748 p. (ISBN 978-0-387-48806-6, lire en ligne), p. 15.

[Barnett202047-5] Barnett 2020, p. 47.

[Cox1984281-6] Cox 1984, p. 281.

[Khelif2010-7] Khelif 2010.

[EymardLafond195640-41<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;98</span>-8] Eymard et Lafond 1956, n. 98, p. 40-41.

[BorweinBailey200815<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="figure"_>fig.</abbr>_1.2</span>-9] Borwein et Bailey 2008, fig. 1.2, p. 15.

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