Discussion:Groupe diédral

Une phrase pas claire.

On lit dans l'article : "On voit ainsi que le groupe diédral admet un système de deux générateurs tous deux d'ordre 2. Les seuls autres groupes finis possédant cette propriété sont les groupes cycliques."

De quelle propriété s'agit-il ? Un groupe cyclique admet au plus un élément d'ordre 2. Donc, si un groupe cyclique est engendré par "deux" éléments d'ordre 2, il est engendré par un élément d'ordre 2 et est donc d'ordre 2. On ne peut donc pas dire que "les" groupes cycliques possèdent la propriété d'être engendrés par deux éléments d'ordre 2. En fait, tout groupe fini engendré par deux éléments d'ordre 2 distincts est diédral. (Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, théor. 3.32, p. 68.)

Ne vaudrait-il pas mieux mettre : "On voit ainsi que le groupe diédral admet un système de deux générateurs distincts tous deux d'ordre 2. Les groupes diédraux sont les seuls groupes finis possédant cette propriété." ?
Marvoir (d) 2 mai 2009 à 16:57 (CEST)

J'ai fini par faire le changement.
Marvoir (d) 26 octobre 2009 à 07:16 (CET)

introduction plus douce

Je trouve que le début de l'article est un peu "hard" : la "définition" en termes d'une suite exacte scindée (qui n'est pas vraiment une définition à part entière, et qui d'autre part laisse supposer que D_n serait un groupe abélien, d'après suite exacte), n'est sûrement pas l'approche la plus simple pour les lecteurs n'ayant que des notions de base (en géométrie et/ou en théorie des groupes. A mon avis ce serait mieux de reprendre, ne serait-ce que comme exemple développé, en section 1, le cadre géométrique des rotations et reflexions. — MFH 25 octobre 2009 à 23:27 (CET)

Groupes diédraux et nilpotence

Il est bien connu qu'un groupe diédral est nilpotent si et seulement son ordre est une puissance de 2. Il n'est pas difficile de montrer que le dérivé d'un groupe diédral est toujours commutatif (donc la classe de résolubilité d'un groupe diédral est au plus égale à 2) et que si r est un nombre naturel au moins égal à 2, la classe de nilpotence du groupe diédral d'ordre 2^r est r - 1. À toutes fins utiles, je signale que j'ai mis une démonstration de ça sur Wikiversité. J'aimerais mentionner ces faits dans notre article et noter qu'il en résulte que la classe de nilpotence d'un groupe nilpotent ne peut pas être majorée en fonction de sa classe de résolubilité (alors que la classe de résolubilité peut être majorée en fonction de la classe de nilpotence). Mais il me semble qu'il faudrait renvoyer à un livre pour ces propriétés des groupes diédraux et, sauf erreur, elles ne sont pas démontrées ni même énoncées dans les livres que je connais. Elles sont énoncées sans démonstration sur Groupprops, mais même si Groupprops est un site sérieux, je crois qu'une référence à un livre vaudrait mieux. Donc, si quelqu'un pouvait renvoyer à un livre à ce sujet, ce serait bien. (Le fait que la classe de nilpotence d'un groupe nilpotent ne puisse pas être majorée en fonction de sa classe de résolubilité semble assez intéressant à Robinson pour qu'il le donne comme exercice dans A Course..., 1996, exerc. 5.1.9, p. 128, mais il ne fait pas la moindre allusion à la classe de nilpotence d'un groupe diédral...) Marvoir (d) 9 mars 2013 à 09:49 (CET)

Voilà déjà ça mais c'est sans preuve et parmi des énoncés d'un autre niveau. Anne (d) 9 mars 2013 à 13:15 (CET)

Ceci dont hélas seules les 2 premières pages sont accessibles donc pas la biblio, peut servir d'amorce de piste (comme mots clés dans Google) Anne, 14h02

Ici on classifie les 2-groupes de classe de nilpotence maximale, mais je n'ai pas trouvé dans les pages précédentes de preuve que les seuls possibles en sont vraiment. J(e t)'abandonne. Anne, 15h08

Merci pour ces références. (Et bravo !) Dans le premier cas, Google Livres me refuse la page; dans le second cas, le site répond trop lentement au goût de mes navigateurs, mais j'obtiens bien la troisième référence. D'après la façon dont les auteurs s'expriment, il me semble qu'ils disent bien que les groupes diédraux d'ordre 2ⁿ sont de classe de nilpotence n - 1 (voir le cor. 3.3.4, iii, p. 60), mais dans leur définition d'un groupe d'ordre pⁿ de classe maximale, ils supposent n > 3 (voir pages 51 et 52), donc les groupes diédraux d'ordre 4 et 8 sont exclus. Or, pour ce qui nous intéresse, il n'y a pas de raison de les exclure. Mais pas de problème, je vais donner cette référence. La démonstration antérieure à laquelle les auteurs renvoient (lemme 2.1.9), et à laquelle je n'ai pas accès, est sûrement valable aussi pour n = 2 et n = 3. Encore merci ! Marvoir (d) 9 mars 2013 à 18:04 (CET)

Lien plus direct pour le 2^e. Bizarre que Google Livres te refuse la page 77 du 1^er. Voici ce qu'elle dit : « A p-group of order pⁿ where n ≥ 3 and nilpotency class n – 1 is said to be of maximal class for obvious reasons. Now an elementary result states that the 2-groups of maximal class are precisely the dihedral, quaternion and semi-dihedral groups. » Et page 76 (je résume 3 phrases) : D_2ⁿ a un sous-groupe cyclique d'indice 2. Q_2ⁿ, défini pour n ≥ 3 et SD_2ⁿ, défini pour n ≥ 4 aussi. Ces groupes ont pour classe de nilpotence n – 1. Anne, 18h40

Merci. Dommage que ce résultat élémentaire ne semble pas démontré dans les manuels élémentaires dont je dispose... Je crois que je vais m'en tenir à la troisième référence (livre plutôt que revue). Que Google Livres me cache une page qu'il t'a montrée est un phénomène fréquent, je crois. Un autre contributeur m'a dit un jour qu'il avait le même problème en essayant de suivre un lien que j'avais mis vers Google Livres... Marvoir (d) 9 mars 2013 à 18:51 (CET)

Pour la 3^e, moi je n'ai pas accès aux p. 51-52, mais je vois le lemme 2.1.9 p. 27 : il décrit seulement le groupe d'automorphismes du groupe cyclique d'ordre pⁿ. Anne, 19h07

Mauvaise nouvelle pour moi ! Mais je crois quand même que le corollaire 3.3.4 (iii) est une référence suffisante. L'exclusion des exposants 2 et 3 ne joue sûrement aucun rôle en ce qui concerne l'énoncé élémentaire qui m'intéresse. Bizarrement, ils exigent un exposant > 3 dans leur définition des p-groupes de classe maximale, alors que Berkovich, Groups of Prime Power Order, vol. 1, p. 26, se contente d'exiger un exposant > 2... Marvoir (d) 9 mars 2013 à 19:33 (CET)

Notations

Dans l'article on utilise les deux notations D_n et D_2n. Par exemple :

« D'autre part, la classe de résolubilité d'un groupe diédral est ≤ 2. (En effet, le groupe diédral D_2n admet un sous-groupe cyclique C_n d'indice 2 et donc normal ; le groupe quotient D_2n/C_n, étant d'ordre 2, est commutatif, donc C_n contient le dérivé de D_2n, donc ce dérivé est commutatif, donc la classe de résolubilité de D_2n est ≤ 2.)»

L'article sera plus clair avec l'unique notation D_n.

-- Actorstudio (discuter) 26 novembre 2015 à 13:04 (CET)

C'est une bonne idée d'unifier, mais je pense que la notation D_2n est devenue prévalente. Marvoir (discuter) 26 novembre 2015 à 14:07 (CET)

Bonjour Marvoir, Comme vous je préfère la notation D_2n, elle indique l'ordre du groupe, Une recherche rapide sur Google montre que dans les ouvrages en français ( cours en pdf et livres) c'est la notation D_n qui est toujours prévalente, ainsi que dans les autres articles concernés de Wikipédia, Mais l'article sera tout aussi clair si on choisit uniquement la notation D_2n à condition de le dire explicitement au début de l'article. Autre exemple d'ambiguité : « Pour n impair, le groupe D_2n est isomorphe au produit direct de D_n et d'un groupe cyclique d'ordre 2. » Bien à vous.-- Actorstudio (discuter) 28 novembre 2015 à 19:07 (CET)

Vous avez bien raison de signaler les ambiguïtés. Puisque c'est vous qui avez remarqué le problème, je ne me crois pas bien placé pour faire porter ma marque à la modification de l'article et je vous suggère de faire l'uniformisation. Il est vrai qu'en mathématiques, je lis surtout des livres en anglais, où la notation D_2n me semble avoir acquis la préférence. (Rotman est passé de la notation D_n à la notation D_2n dans les éditions successives de son livre.) Je note tout de même que J. Delcourt, Théorie des groupes, 2e édition, Dunod, tirage de 2012, p. 27, utilise la notation D_2n. Je vous laisse choisir la notation. Bien à vous, Marvoir (discuter) 29 novembre 2015 à 10:04 (CET)