Discussion:Nombre transcendant

J'ai modifié la partie suivante:

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}=0$

où $n\geq 1\,$ et les coefficients $a_{i}\,$ sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), tous différents de 0.

en

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}=0$

où $n\geq 1\,$ et les coefficients $a_{i}\,$ sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), dont l'un au moins est non nul.

J'avoue que ça fait longtemps que je n'ai pas fait de math. Cependant, les racines de l'équation $x^{2}-2=0$ sont bien des nombre algébrique et on a cependant $a_{1}=O$. Si quelqu'un ayant fait des math plus récemment que moi pouvait confirmer.

--Xavier Combelle 28 août 2005 à 22:02 (CEST)

D'aucuns disent non tous nuls, mais pour une définition de début d'article, mieux vaut être explicite et la moins ambigu possible. Rude Wolf 16 février 2008 à 01:31 (CET)

Formulation de la définition

La remarque de Xavier Combelle est parfaitement exacte. La modification de Jean-Luc W. n'apporte aucun changement sur le fond : c'est une simple question de notation ; en effet, dans la mesure où un coefficient au moins est non nul, il suffit d'appeler n le plus grand des indices k tels que a_k ≠ 0 : c'est justement la définition du degré d'un polynôme.

Il serait souhaitable (et plus clair) que le mot degré apparaisse explicitement. On pourrait proposer ce qui suit :

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale de degré n (n ≥ 1) à coefficients $a_{i}\,$ entiers (ou, de manière équivalente, rationnels):

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$

(dire que l'équation est de degré n signifie que $a_{n}\neq 0$)

ou encore :

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucun polynôme P de degré n (n ≥ 1) à coefficients $a_{i}\,$ entiers (ou, de manière équivalente, rationnels):

$P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

(dire que le polynôme est de degré n signifie que $a_{n}\neq 0$).

Vivarés 23 novembre 2005 à 17:05 (CET)

Pas d'accord. La notion de degré n'intervient pas dans la définition de nombre algébrique, inutile de compliquer la définition en l'introduisant (à mon avis). D'autant plus si on prétent définit en même temps ce qu'est ce degré qui ne sert à rien ! L'irruption du nombre "n" risque de perturber le lecteur plus que de l'éclairer, surtout dans la formulation proposée qui donne l'impression que n est connu à l'avance. FvdP 23 novembre 2005 à 19:30 (CET)

J'ai effectué une petite modification dans la définition. La définition précédente évoquée des racines d'équations polynomiales que j'ai modifié en racines de polynômes. Au départ, je voulais juste remplacer racines par solutions mais je trouvais la notion de racines importante. Sur le fond, cela ne change rien mais cela fait plus propre. De plus, je trouvais la formulation "les coefficients $a_{i}$ sont des rationnels dont au moins un est non nul" un peu alambiquée et j'ai directement écrit que le polynôme devait être non nul (j'ai quand même laissé "les coefficients $a_{i}$ sont des rationnels non tous nuls" qui me semble plus appropriée).

SuperMunchkin 10 juillet 2021 à 20:52 (CET)

il y a une contradiction

Dans la partie "Nombres transcendants connus et problèmes ouverts"

le 4eme point dit que le 7eme pb de hilbert (transcendance de a^b) est non résolu, alors que 2 ligne au dessu on dit qu'il a été demontré "en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider".

de plus juste en dessous de ce dernier endroit, on donne 2 exple de nombre transcendant trouvé grace à la formule $a^{b}$ : $2^{\sqrt[{}]{2}}$ et $e^{\pi }$, or "a" doit etre algebrique, et "e" ne l'est pas, donc ce dernier exple n'est pas à sa place je pense.

Dans le cas de $e^{\pi }$ il est bien à sa place car en fait $e^{\pi }=(-1)^{-i}$ et on a bien - 1 un algébrique et -i un irrationnel quadratique complexe. --Toutoune74 (d) 9 janvier 2010 à 21:29 (CET)

Sur le PREMIER POINT Il n'y a pas de contradiction sur le septième problème de Hilbert. Il a été résolu en 1934-1935. Par contre, sa généralisation ne l'a pas été. L'article pourrait peut-être être amélioré pour expliquer en quoi consiste cette généralisation (les travaux d'Alan Baker sont cités dans les années 60).

Sur DEUXIEME POINT : J'ai tenté de corriger l'article : $e^{\pi }$ est un nombre transcendant, c'est une conséquence du Théorème de Gelfond-Schneider. C'est expliqué dans l'article constante de Gelfond. Discussion utilisateur:Romanc19s (discuter) 3 janvier 2016 à 12:31 (CET)

Nombres complexes transcendants.

Il y a lieu de distinguer les nombres réels transcendants, c'est à dire ceux parmis les nombres réels qui sont transcendant (sur les rationnels) de la notion générale de nombre transcendant. Par exemple on peut s'intéresser à la transcendance des nombres p-adiques. Même si l'on peut plonger les nombres p-adiques dans les nombres complexes, ce n'est pas chose aisée, et de toute façon un nombre p-adique (une classe de suites de Cauchy pour la norme p-adique, pour la construction par complétion métrique) n' est pas un nombre complexe (construction analogue). Rude Wolf 16 février 2008 à 01:38 (CET)

Traduction incorrecte

"Éventuellement périodique" est une traduction mot à mot de l'anglais (eventually periodic), qui ne veut rien dire en français. Eventually se traduit par "finalement" en français ; une traduction correcte serait : "périodique à partir d'un certain rang". Vivarés (d) 1 mai 2008 à 17:13 (CEST)

Cela voudrait plutôt dire "Possiblement périodique". Éventuellement dans le sens de "il est possible mais non nécessaire" LiteApplication (discuter) 15 février 2024 à 14:14 (CET)

Pas du tout. Cette traduction parfaitement correcte de Vivarès fut bienvenue, et l'article corrigé il y a près de 16 ans ! Proz (discuter) 23 février 2024 à 03:42 (CET)

Catégorisation

Je ne vois pas trop l'utilité de ces nouvelles catégorisations, mais il faudrait quand même être cohérent : si "transcendant" n'est pas un "type de nombre", pourquoi "algébrique" le serait-il?--Michel421 (d) 15 mai 2008 à 23:01 (CEST)

« Transcendant » est bien un type de nombres. Il est dans la sous-catégorie éponyme. Ambigraphe, le 15 mai 2008 à 23:27 (CEST)

Plus exactement, la transcendance ne caractérise pas un type de nombre, mais s'oppose au type « algébrique » et en ce sens il m'a semblé concevable de le catégoriser aussi ainsi. Ambigraphe, le 16 mai 2008 à 20:40 (CEST)

Question de vocabulaire

Pourquoi, à l'origine, Leibnitz a-t-il choisi de qualifier ces nombres de "transcendants" (plutôt que "nombres abracadabrantesques", "nombres chikungunyesques" ou "nombres supercalifragilisticexpialidocieux" par exemples purement arbitraires) ?

Les nombres irrationnels s'appellent comme ça parce qu'on ne peut les exprimer sous forme de fraction, de rapport (latin ratio) entre deux nombres. Pourquoi les nombres transcendants s'appellent-ils comme ça ? Qu'est-ce qu'ils ont de transcendants ?

Quel rapport avec le sens original du mot "transcendant" ? Une brêve explication sur la raison de ce choix serait la bienvenue.

Corrections à propos de Cantor

J'ai réécrit l'histoire des contributions de Cantor pour les représenter fidèlement (voir Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels, une traduction française de l'article qui a été revue et corrigée par Cantor). Par exemple, « l'argument décrit ci-dessus établissant l'ubiquité des nombres transcendants » (voir Nombre transcendant#Histoire) utilise implicitement la proposition « La réunion de deux ensembles dénombrables est dénombrable » que Cantor ne démontra pas jusqu'à son article de 1878. En 1874, il fournit une démonstration constructive de l'existence de nombres transcendants ; en effet les méthodes de Cantor ont été utilisées pour écrire un programme informatique qui calcule les chiffres d'un nombre transcendant (voir Georg Cantor and Transcendental Numbers). Plus tard, Cantor montra comment construire une bijection entre l'ensemble des nombres transcendants et l'ensemble des nombres réels. Il ne publia jamais l'argument simple dans cet article wikipédia montrant que l'ensemble des nombres transcendants est non dénombrable.

J'ai corrigé en:Transcendental number en mars 2011. --RJGray (d) 28 janvier 2012 à 05:52 (CET)

Quelques précisions à apporter dans la reproduction de la démonstration de Baker sur planetmath

Quelques précisions à apporter DANS LA RÉFÉRENCE (en) « Proof of Lindemann-Weierstrass theorem and that e and π are transcendental »

En voulant consulter les références indiquées en bas de page concernant démonstration de F.von LINDEMANN de la transcendance de π, je pense qu'il y manque certaines précisions . Je pense qu'on a voulu trop simplifier la démonstration originale de LINDEMANN, en s'inspirant d'une preuve plus aisée de la transcendance de e.

Cette dernière relativement élémentaire utilise une intégrale sur l'intervalle réel [0;t] où t est un nombre RÉEL. Par une succession d'intégrations par partie on en déduit une formule concernant une quantité I(f,t) où f est une fonction quelconque et t UN PARAMÈTRE RÉEL. Cette formule est utilisée pour aboutir à une contradiction, avec une fonction polynomiale f bien choisie et des paramètres t décrivant l'ensemble des nombres ENTIERS de l'intervalle [0,n ] où n serait le degré de l'équation polynomiale à coefficient entiers dont e, serait solution.

Mais il devient abusif d'utiliser cette même formule pour prouver la transcendance de π avec un paramètre t décrivant un ensemble de nombres complexes non réels. La démonstration de la formule n'est plus utilisable et n'a pas de sens avec un paramètre t dont la partie imaginaire est non nulle ! Le résultat qu'elle énonce pourrait sembler avoir un sens avec un paramètre t complexe , mais qu'en est-il si t n'est pas réel .

Cela est plus clair dans le document mentionné en dessous du précédent : Transcendance de e et π pour les nuls qui utilise une formule valide avec des complexes en utilisant une démonstration avec des intégrales sur un intervalle [0,1] où le paramètre t dans C n'intervient plus.

marot.jacques at gmail.com — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 78.202.181.39 (discuter), le 8/12/16 à 11 h 18‎.

Vous avez sans doute raison... mais je ne vois pas vraiment où est l'erreur : les calculs d'intégration par parties et les choix donnés me semblent n'utiliser que t réel. Pourriez-vous préciser à quel endroit la démonstration dérape ?--Dfeldmann (discuter) 8 décembre 2016 à 12:14

Même si vous aviez eu raison, ç'aurait été mieux de ne pas crier. La preuve de Baker est fidèlement reproduite. Pour e, t est réel. Pour π, t est complexe, mais ça ne pose aucun problème. Je cite Baker p. 4 :

« …if $I(t)=\int _{0}^{t}e^{t-u}f(u)du$, where t is an arbitrary complex number and the integral is taken over the line joining 0 and t, then, by repeated integration py parts… »

Anne, 12 h 41

Je ne crie pas, je ne fais que signaler où est l'abus vous dites fort justement que l'intégration par parties n'utilise que t réel, c'est justement là que le bât blesse puis que la démonstration proposée dans la référence citée qui ne reproduit pas exactement la démonstration de Lindemann ( je n'ai pas sous les yeux l'ouvrage de Bakker) se permet de faire parcourir à t un ensemble d'exponentielles de sommes de complexes pris parmi des hypothétiques racines conjuguées de iπ, je veux bien croire que la démonstration valide utilise une méthode semblable, mais utiliser une formule dont la preuve ne peut être acceptée que pour t réel, en disant que cela pose aucun problème pour t complexe... Il y a un bout de chemin qui manque pour expliquer quelle formule similaire on utilise, mais ce n'est certainement pas la même formule. C'est au moment de dire :

with ppp a (sufficiently large) prime, then
$ J=I⁢(\alpha_1)+\ldots+I⁢(\alpha_n) $
satisfies the same incompatible bounds as in the previous theorem.

que la démonstration dérape, la formule utilisée ne permet pas de donner de sens à $I(\alpha_{1})+\cdots+I(\alpha_{n})$, la fonction I ne peut pas accepter d'arguments complexes qui servent de bornes aux intégrales qui définissent I. La référence citée en dessous de la précédente ne commet pas cet abus, et remplace la fonction I par une autre fonction qui peut accepter des arguments complexes qui ne sont plus des bornes de l'intégrale. Il n'est pas du tout spontané de créer cette nouvelle fonction I à partir de la précédente.

--Majak16 (discuter) 8 décembre 2016 à 17:37 (CET) marot.jacques at gmail.com

(Si, vous criiez.) Dfeldmann voulait certainement dire que l'intégration par parties de Nombre transcendant#Esquisse de démonstration de la transcendance de e n'utilise que t réel. Pour ma part, j'ai bien compris ce qui vous chagrinait dans la preuve par Baker de la transcendance de π transcrite fidèlement sur planetmath, mais cette preuve est claire et irréprochable. Baker explique très simplement (cf. citation ci-dessus, livre en main) comment il applique la même méthode d'intégration par parties avec une borne complexe (eh oui ! pourquoi pas ?). Il n'utilise donc pas « une formule dont la preuve ne peut être acceptée que pour t réel ». Anne, 18 h 25

Peut-être vais je me mettre en effet à protester mais certainement pas crier ? L'argument d'autorité d'une spécialiste : << eh oui ! pourquoi pas ?>> interdisant tout forme de questionnement ou demande de précisions me refroidit a jamais d'interroger les spécialistes. J'ai pu en effet consulter l'ouvrage de Baker et qu'il considérait t complexe. Vous dites que planetemath en retranscrit fidèlement les preuves, il ne saute pas aux yeux que le paramètre t dans la preuve de planetmath peut être complexe. Excusez moi, la possibilité d'une intégration par parties d'une fonction complexe sur un segment du plan complexe ne m'était pas familière, Il m'a fallu un temps de réflexion pour convenir de la possibilité de faire intervenir la formule d'intégration par parties pour une intégration sur un chemin du plan complexe, en paramétrant le chemin on aboutit en effet à la formule plus claire pour moi utilisée dans le document intitulé : Transcendance de e et π pour les nuls Peut-être serait-il nécessaire de préciser que la notion d'intégration sur un chemin complexe a été utilisée par la formule qui prouve la transcendance de π dans la démonstration planetmath/Baker; la majoration du module de l'intégrale complexe n'est plus de la même évidence que pour une intégrale réelle. Dans le document précédent << pour les nuls >> une intégrale est utilisée sur un chemin complexe de manière dissimulée, l'intégrale sur l'intervalle [0;1] totalement explicitée résulte en effet de la définition de l'intégrale sur le segment complexe [0,α] où α peut être complexe. En se ramenant à une intégrale sur un intervalle réel,il n'est plus nécessaire de connaitre la définition d'une intégrale sur un chemin complexe que l'on peut tout de même consulter ici : Intégrale_de_Cauchy. --Majak16 (discuter) 10 décembre 2016 à 09:44 (CET)

Le public certes averti qui consulte wikipedia,a besoin de précisions qui pourraient paraître inutiles à ceux qui en temps que spécialistes n'ont pas besoin de consulter. --Majak16 (discuter) 10 décembre 2016 à 09:44 (CET)

Je ne suis pas du tout spécialiste mais quand je ne comprends pas, je cherche dans les sources. Je n'ai fait, par mon « eh oui ! pourquoi pas ? », qu'insister sur la citation d'Alan Baker fournie dès hier (12 h 41), que vous persistiez à contredire dans votre réponse (« la fonction I ne peut pas accepter d'arguments complexes qui servent de bornes aux intégrales »). Je suis d'accord avec vous qu'il est regrettable que cette précision de Baker ne soit pas reproduite dans l'article de planetmath, mais je ne sais pas comment y remédier (de façon naturelle et proportionnée) sur Wikipédia (dans Nombre transcendant#Liens externes ou ailleurs). Pour le mot « crier », cf. Aide:Discussion#Règles et recommandations de base. Je vous suggère de remplacer le titre de cette section par « Démonstration de Baker reproduite sur planetmath ». Anne, 9/12, 13 h 50

En fait pas besoin d'intégrales : v:Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Démonstration de la transcendance de e et pi (j'ai mis ce lien en bas de la page Théorème d'Hermite-Lindemann : je pense que c'est plus approprié qu'ici). Anne, 20/12 à 13 h 15

Propositions de transferts

WP:LE#Choisir un « bon » site externe recommande de « ne mettre le lien externe que dans l’article le plus proche du sujet. » Les 3 liens externes de cet article devraient donc être transférés :

celui de PlanetMath avec les 3 théorèmes de Baker dans Théorème de Lindemann-Weierstrass (accompagné en pdd de la section ci-dessus, qui le concerne), et

les 2 autres (qui ne parlent que de e et pi) dans Théorème d'Hermite-Lindemann.

De même, la place de Nombre transcendant#Esquisse de démonstration de la transcendance de e est plutôt dans Théorème d'Hermite-Lindemann.

Tout ça en rendant bien sûr plus visibles ici ces 2 articles cibles, pour ne pas « perdre l'info ». Anne, 20/12/16, 14 h 02

La nouvelle preuve de la transcendance de e

est bien moins lisible que l'ancienne, et n'est plus conforme aux sources invoquées. De toutes façons sa place (même dans l'ancienne version) n'était pas ici à mon avis mais plutôt (cf. section précédente) dans Théorème d'Hermite-Lindemann, voire même sur aucune page de Wikipédia mais seulement sur Wikiversité. Je rappelle que la preuve de Baker figure sur wikiversité depuis fin décembre.

Majak16 (d · c · b) a ajouté là-bas sa preuve perso. Soit. Mais copier-coller ici ce TI n'est pas une bonne idée, je trouve. Anne (discuter) 4 avril 2017 à 10:14 (CEST)

Je n'ai fait que détailler ce qui était mentionné auparavant comme une esquisse de démonstration, cette démonstration est pourtant plus courte que l'esquisse tout en expliquant les points de détails éludés.

Je suis tout à fait d'accord qu'elle soit déplacée.

--Majak16 (discuter) 4 avril 2017 à 13:25 (CEST)