Discussion:Octonion

Image

Si jamais l'image Fano mnemonic.PNG était supprimée pour cause de droits, une image équivalente est Fano.GIF que j'avais dessinée dans le cadre des plans projectifs

Michelbailly 4 janvier 2006 à 10:05 (CET)

Octonions imaginaires purs

Je lis dans l'article que les octonions imaginaires purs forment une algèbre. Or ils ne sont pas stables par multiplication ($i^{2}=-1$ par exemple). Est-ce que c'est une erreur, ou est-ce que j'ai raté quelque chose ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.240.29.12 (discuter), le 12 janvier 2006.

Corrigé

Division

Je lis à Divison:

La division des octonions $\ x\$ et $\ y\$ est alors définie par l’égalité suivante :

• ${\frac {x}{y}}=\ x\ .\ y^{-1}\ =\ {\|y\|}^{-2}\ .\ x\ .\ y^{*}$, avec $\ y\$ différent de zéro.

Ce ne devrait pas être simplement $x\ .\ y^{-1}\ =\ x\ .\ {\|y\|}^{-2}\ .\ y^{*}$, selon la définition de l'inverse donnée juste au-dessus? Je ne fais pas la correction moi-même parce que je ne connais rien à ça et je rate peut-être quelque chose. 206.167.182.43 (d) 5 février 2008 à 06:30 (CET) Jean F.

C'est pareil, parce que le réel ||y||^–2 commute avec x. Mais j'ai supprimé cette section qui apporte plus de confusion que d'information (ou alors, il faudrait parler de division à droite et de division à gauche). L'information sur l'inverse me semble suffisante. Anne (d) 13 avril 2012 à 23:22 (CEST)

Annonce

Bonjour,

Je souhaite modifier quelque peu l'article Octonion. Je ne travaillerai pas le côté Historique. Néanmoins, je ferai mention des groupes de Lie exceptionnels, comme G2 par exemple. Dans la refonte sera créé un article Construction de Cayley-Dickson.

Merci de remarques éventuelles que vous souhaiteriez faire avant que je commence la refonte de cet article. Nefbor Udofix  -  Poukram! 2 juin 2009 à 16:27 (CEST)

Mauvaise formulation / erreur

Dans l'introduction, on lit : "En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, les octonions gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie".
Les groupes de Lie, comme tout groupe, requiert la propriété d'associativité. A modifier ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 84.97.82.98 (discuter), le 23 août 2010.

Voir Octonion#Automorphismes Anne (d) 13 avril 2012 à 23:34 (CEST)

Phrase suspecte

(ajoutée le 12/9/5) « La table de multiplication peut être définie entièrement par l'identité remarquable : $i^{2}\ =\ j^{2}\ =\ k^{2}\ =\ l^{2}\ =\ ijk\ =\ jki\ =\ kij\ =\ -1$ » : ? Anne (d) 13 avril 2012 à 22:57 (CEST)

Ce que je comprend encore mois c'est pourquoi tu as fait un revert massif (18k quand même de code source !) de toute un tas de propriétés ajoutées uniquement à cause de la première phrase inutile ("tu as compris ou je recommence"). Soupçonnes-tu un copyvio? Dans ce cas il faut trouver la source. Sinon ces propriétés supplémentaires étaient utiles.

Quant à ma phrase ci-dessus de 2005, c'est parfaitement vrai, elle résume toute la table de multiplication des octonions en une seule formule simple.

Ce que tu as fait dans l'article est beaucoup plus de vandalisme que ce que tu dénonçais à tord dans ton revert. On dirait que c'est bien toi qui te trompe complètement ou qui ne comprend rien au sujet. Verdy p (d) 21 avril 2013 à 12:39 (CEST)

Euh ? Du calme ! le vandalisme que j'ai reverté consistait (outre la phrase "tu as compris ou je recommence") en une duplication pure et simple de l'article. Merci pour tes rectifications d'aujourd'hui dans l'article. Anne (d) 21 avril 2013 à 13:51 (CEST)

J'insiste : àma il vaudrait mieux supprimer, ou rectifier mais source à l'appui, qu'improviser. Tant mieux si je me trompe (localement !) et tant pis si tu me connais si mal qu'il te semble que "c'est bien moi qui [m]e trompe complètement ou qui ne comprend[s] rien au sujet" : tes ajouts d'hypothèses de cet après-midi ne suffisent pas à répondre à ma question de ce midi sur ta pdd : « comment déduire de ces identités que, par exemple, $(li)j=-lk$ ? » : les 2 premiers points (définitions) alourdissent le texte sans apport d'info. Le point 4 ("commutation du produit de deux octonions non réels" : je dirais plutôt : "anticommutation de deux octonions purement imaginaires") est sans doute nécessaire. Mais l'associativité partielle, actuellement en commentaire, est à remonter elle aussi en hypothèse, en point 5, et à renforcer en : dès que l'un des trois éléments x, y, z est engendré par les deux autres (et pas seulement dès que xyz=±1). Et même comme ça, je ne trouve pas ce qui permet d'exclure la table suivante (je mets en capitales les éléments qui diffèrent de la table de l'article).

${\begin{matrix}1&i&j&k&l&li&lj&lk\\i&-1&k&j&-li&l&LK&-LJ\\j&-k&-1&i&-lj&-LK&l&LI\\k&-j&-i&-1&-lk&LJ&-LI&l\\l&li&lj&lk&-1&-i&-j&-k\\li&-l&LK&-LJ&i&-1&K&-J\\lj&-LK&-l&LI&j&-K&-1&I\\lk&LJ&-LI&-l&k&J&-I&-1\end{matrix}}$

Même si j'ai fait une erreur, ça n'enlèvera pas la nécessité d'une source. Anne (d) 21 avril 2013 à 19:38 (CEST)

Construction alternative des octonions

La construction classique des octonions par le processus de Cayley-Dickson a l'avantage d'être simple, mais on en déduit difficilement les propriétés de la base canonique 1,i,j,k,l,il,jl,kl notamment certaines symétries et commutativité / non-commutativité puis surtout associativité / non-associativité. La difficulté n'est pas essentielle, elle réside à mon sens dans la nécessité de faire des calculs fastidieux, ce qui n'est pas élégant et n'apporte rien d'autre. Par exemple, pour découvrir quand (uv)w = u(vw) et quand (uv)w = -u(vw) où u,v,w sont trois éléments (pas nécessairement distincts) de la base canonique, il faut à priori traiter 512 = 8^3 cas. Même si on peut sans trop de difficulté traiter à part et plus simplement les cas où parmi u,v,w on trouve (au moins une fois) l'unité, il reste 343 = 7^3 cas. Certes on peut commencer par une propriété de symétrie - il y en a une cyclique d'ordre 7 - pour laquelle 8^2 voire 7^2=49 cas suffisent ... réduisant les cas pour l'assoc./non-assoc. d'un facteur 8 ou 7, et ce n'est peut-être pas tout ce qui permet des simplifications. Mais ... Il est possible de construire les octonions d'une manière différente rendant le traitement bien plus élégant ...

Je me demande si ce qui suit a échappé à tous les spécialistes des octonions jusqu'à présent. Pour faire court - je détaillerai (partiellement) si quelqu'un le désire, mais quelqu'un voudra peut-être en faire un exercice (qui sera ... avec certains prérequis sur: corps finis, trace dans une algèbre ... plutôt agréable, je le promets) - voici:

Soit V en espace vectoriel de dim. 8 sur |R ... disons V = |R^8, ( (e_x) (x dans I) ) une base de V où l'ensemble d'indices I est |F_8, le corps à 8 éléments (qui existe et est unique à isomorphisme près). La suite expliquera pourquoi on fait un tel choix "bizarre" pour I. On sait que I est une extension de degré 3 de |F_2 = Z/2Z, corps à 2 éléments; autrement dit |F_8 est un espace vectoriel de dim. 3 sur |F_2. Pour faire de V une algèbre sur |R, on munit alors V de la multiplication (interne) |R-bilinéaire définie sur la base par la formule (x,y dans I):

(*) e_x . e_y = (-1)^h(x,y) e_(x+y) avec h(x,y) = Tr((x^6)y) où

Tr désigne la fonction trace |F_8 -> |F_2 ... notion définie pour une algèbre associative à unité de dimension finie sur un corps K, ce qui inclut le cas d'une extension finie (c.a.d. de dimension finie) de K (ici K = |F_2) ... cf. Bourbaki, Algèbre, chap.8, § 12, n°2, déf.2 et prop.4, laquelle se simplifie dans le cas d'une extension séparable voire galoisienne comme dans mon cas

et où, bien sûr, on définit (-1)^n pour n dans |F_2 ainsi: (-1)^0 = 1, (-1)^1 = -1 ... de sorte que (-1)^n_2 = (-1)^n pour n dans Z et n_2 = (déf.) n+2Z, classe de n dans Z/2Z = |F_2.

Avec cette formule (*), V est isomorphe à l'algèbre des octonions. Résumé de la théorie de ça:

Puisque |F_8 est extension galoisienne de |F_2 (comme toute ext. finie d'un corps fini) on a: Tr(x) = somme des aut(x) où aut parcourt l'ensemble des automorphismes de l'extension, d'où Tr(x) = x + x^2 + x^4 pour x dans I = |F_8. On utilise aussi: (x^6)y = y/x (il s'agit de l'expression dont on prend la trace ci-dessus) si x ¬= 0 car x^7=1 dans ce cas. On peut ensuite exprimer h(x,y) comme un polynôme homogène en x,y de degré 7 (encore grâce à x^7=1 si x est non nul) ... puis on démontre les propriétés suivantes:

1) Si z est un élément ¬= 0 de I, l'application linéaire t_z : V->V telle que t_z(e_x) = e_(zx) est un automorphisme de l'algèbre V, évidemment d'ordre 7 comme z dans I\{0} ... une symétrie de V !!

2) e_0 est élément-unité de V, et pour x dans I non nul, (e_x)^2 = - e_0 c.a.d. -1

3) Si x,y sont éléments de I linéairement dépendants resp. indépendants dans l'esp. vect. I sur |F_2, alors

e_x . e_y = e_y . e_x resp. e_x . e_y = - e_y . e_x

4) Si x,y,z sont éléments de I linéairement dépendants resp. indépendants dans ce même esp. vect., alors

(e_x . e_y) . e_z = e_x . (e_y . e_z) resp. (e_x . e_y) . e_z = - e_x . (e_y . e_z)

Avec ça, on trouve que si P c I (ici c désigne l'inclusion) est un sous-espace de dim.2 de l'esp. vect. V ... un plan homogène ayant 4 éléments donc ... alors les e_x pour x dans P forment la base d'une sous-algèbre S de V isomorphe à |H, corps des quaternions ... à 1,u,v,v.w où u=e_x et v=e_y sont tels que x,y forment une base de P, on fait correspondre 1,i,j,k dans |H. On peut alors utiliser cet isomorphisme particulier pour transporter la conjuguaison de |H vers S: le conjugué de e_w est alors +/- e_w (w dans P) avec le bon signe ...

Pour finir, on "prolonge" l'isomorphisme |H -> S ainsi obtenu en un iso' |O -> V où |O désigne l'algèbre des octonions déduite de |H par le processus de Cayley-Dickson ... pour ça il faut un peu calculer, mais il suffit d'une seule distinction de (deux) cas !! Cette dernière étape n'est nécessaire que si on veut justifier l'équivalence des deux constructions ... --Ulysse (alias UKe-CH) (discuter) 14 avril 2019 à 15:10 (CEST)