Discussion:Pendule adiabatique

reprise de cet article

--Guerinsylvie (d) 27 mai 2009 à 23:43 (CEST)je rédige à nouveau cet article en 2009 ; le niveau de la Wikipedia est accru.De plus, on demande d'écrire "comme si" on était professeur-rédacteur-d'Article ; bon, je vais essayer,mais c'est pas-garanti !!Et je ne reprends pas toute l'édition , car d'après ce que je comprends, c'est le fond qui n'a pas été clair (et certes, j'ai appliqué directement la théorie de l'eikonale, car il ne saurait être question ICI d'expliquer WKB.

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On appelle équation du [pendule simple], pour de petites oscillations, l'équation différentielle : ${\ddot {x}}+\omega ^{2}\cdot {x}=0$.

Lorsque la pulsation ω varie lentement , on appelle équation du pendule adiabatique l'équation différentielle : \ddot{x} + \omega^2(t)\cdot{x} = 0. On dit alors qu'il y a adiabatisme mécanique. L'analyse WKB conduit à la remarquable conclusion qu'il existe un invariant adiabatique :

E(t) = \hbar \cdot{\omega(t)},

L'analyse énergétique est faite dans l'article [pendule de longueur variable]. Sommaire [masquer]

   * 1 Analyse WKB
   * 2 Invariant adiabatique
   * 3 Remarque énergétique
   * 4 Voir aussi

Analyse WKB

L'analyse WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) convient particulièrement quand la pulsation devient très élevée (c-à-d quand l(t) tend vers zéro ou g(t) tend vers l'infini, dans l'analyse pendulaire).

Alors la solution approchée est : x(t) \simeq A\sqrt[4]{l(t)} \cdot\exp(\imath S(t)) + B\sqrt[4]{l(t)}\cdot\exp(-\imath S(t)),

où S(t) est la phase approchée, c’est-à-dire l'eikonale, primitive de la pulsation. Et les coefficients A et B sont ajustés au mieux avec les conditions initiales.

Invariant adiabatique

Il en ressort que l(t)\theta(t) \simeq \sqrt[4]{l(t)} k

C’est-à-dire que l(t)\theta^2 \simeq \frac1{\sqrt{l(t)}}, soit E(t) \simeq \omega (t)

On peut passer par une analyse hamiltonienne en termes d'action/angle,dans l' "espace de phase" (cf Landau, mécanique, ed Mir ou Arnold, méthode mathématique de la mécanique classique, ed Mir) : ce qui donne une vue plus globale du phénomène. Pour le cas simple étudié ici, l'analyse précédente est moins sophistiquée.

Évidemment l'analyse ici faite ne remplit pas du tout les conditions du botafumeiro ou de la balancelle, auquel cas on parle de résonance paramétrique ( cf [[équation de Hill] ou [équation de Mathieu]).

Remarque énergétique

Cette relation est étrange, si on n'y réfléchit pas bien :

Soit l'expérience de Galilée-Torricelli qui consiste à placer en dessous du point de suspension O, d'un pendule simple de longueur l, une pinule P, avec OP = a.

Immédiatement, Galilée et son élève ont compris que M s'élèverait de la même hauteur, ni plus, ni même moins (par renversement du temps). C’est-à-dire que l'énergie ne varie pas du tout. Imaginons que l'opération soit effectuée en prenant a de plus en plus grand : rien n'est changé. L'énergie reste constante : l(1 − cos(θ0)) = (l − a)(1 − cos(θ)).

Mais ce n'est pas le cas si a = vt avec v très petit ; car on voit bien dans ce cas que lorsque le pendule appuie sur la pinule qui bouge, alors la pinule fournit un travail au système ( voir l'analyse détaillée dans pendule de longueur variable : son énergie augmente. L'analyse de ce phénomène qui n'est pas évidente est faite dans l'article [pendule de longueur variable].Ce qui est remarquable est alors que la relation soit de cette forme simple (dans le cas des petites oscillations) et indépendante de la vitesse v de la pinule (pour v petit). Cette relation est à la base de l'ancienne théorie des quanta ( 1911-1925); aujourd'hui on parle d'analyse semi-classique des familles d'opérateurs où se sont illustrés Helffer ou Sojstrand ou Colin de Verdière.

Voir aussi

   * Pendule de Bessel
   * Pendule de longueur variable
   * Pendule simple
   * Approximation BKW ( cf Messiah de mécanique quantique par exemple ).