Discussion utilisateur:Proz/Pi

Salut c'est moi (alexandre 89.84.159.14 (d) 23 mars 2010 à 15:19 (CET)) qui t'ai proposé la partie "analytique". Si on fait l'effort de lire le Latex je crois que ca tient la route, après je ne sais pas si c'est que tu attendias.

C'est utile (à sourcer bien-sûr), tel quel ça me semble aller un peu trop loin pour l'article sur pi. IL faudrait peut-être résumer la version la plus accessible (par la série entière de l'exp. complexe ?), juste dire ce dont on a besoin. Il manque de toute façon quelque chose de ce genre dans fonction trigonométrique.

J'ai vraiment essayé d'aller aux plus simple avec les petits arguments d'analyse réelle sur cos et sin. C'était peut etre le code latex qui rendait le truc désagréable, maintenant ca doit bien passer je crois.

J'ai eu l'occasion de feuilleter le Delahaye et j'ai vu qu'il séparait approche géométrique, puis approche analytique, plutôt rassurant finalement. Il donne aussi d'alleurs un dessin du même genre. J'ai le Katz sous la main (où je l'avais vu la première fois). Je vais mettre ça probablement un peu en repos, pas mal pris les semaines à venir. Proz (d) 26 mars 2010 à 03:05 (CET)

très bien, ce qui "prouve" que ce n'est pas du n'importe quoi... on pourrait peut-être demander de l'aide pour continuer, perso j'aime pas trop l'article actuel...alexandre 89.84.159.14 (d) 26 mars 2010 à 21:05 (CET)

Beaucoup trop de détails en analyse dans l'état actuel du projet

Je viens juste jouer la mouche du coche, puisque ce brouillone est évoqué au Bistro...

Il me semble (sans sources :-)) qu'on peut subdiviser en lecture naïve les définitions (usuelles) de pi en deux catégories :

• celle par la géométrie (demi-périmètre du cercle) ;

• celles par l'analyse (premier zéro de sinus, 2ipi comme période de exp).

Je ne suis pas convaincu du tout en revanche de l'opportunité de faire une profonde distinction entre sinus défini par une série et via l'exponentielle, elle-même définie par une série : ce sont deux points de vue tellement voisins...

Si on veut affiner on peut réfléchir en se demandant comment sont définis eux-mêmes les concepts qui interviennent dans les définitions :

• on peut partir de sinus/cosinus définis assez laborieusement de façon géométrique à partir de la longueur d'un arc - si on fait comme ça la définition par le premier zéro de sinus coïncide de façon tautologique avec celle par le demi-périmètre - mais bien sûr il faut alors savoir comment on définit la longueur, donc "pi" appelle "sinus" qui appelle "longueur" : c'est une définition géométrique déguisée en définition par l'analyse ;

• on peut partir de façons assez historiques de définir la longueur, genre limite de polygones, je ne connais pas bien, ça ne me passionne pas ;

• on peut partir de la longueur définie comme une intégrale ;

• on peut partir de sinus comme réciproque de la primitive de 1/\sqrt(1-x^2), primitive dont l'existence ne se montre guère par d'autres procédés qu'une théorie basique de l'intégration me semble-t-il ;

• on peut enfin définir pi via sinus via les séries entières, ou via sinus via l'exponentielle elle-même définie par une série entière (ou définir directement pi à partir de l'exponentielle mais ça me semble essentiellement pareil).

Si on reprend tout ça on a finalement trois voies possibles pas trop exotiques pour définir pi :

• les définitions qui remontent à la longueur via polygones et passage à la limite ;

• les définitions qui reposent sur une théorie élémentaire de l'intégration ;

• les définitions qui reposent sur les séries entières.

L'idéal serait de faire sentir au lecteur que cette subdvision est plus "profonde" (me semble-t-il) que la subdivision naïve en géométrie/analyse, sans lui infliger des détails dont la place est dans les articles sur l'exponentielle ou sur les fonctions trigonométriques.

Bon courage ! Touriste (d) 27 mars 2010 à 12:07 (CET)

cool de voir du monde passer par là ! Synthèse pertinente à laquelle j'adère, en précisant que la version intégration est celle (mais peut-être je ne m'y connais pas assez) qui pourrait justifier la version "géométrique" (la notion de longeur c'est une intégrale, mais c'est laborieux : courbe rectifiée et patatai et patatata). La dernière étant effectivement la plus simple et la plus directe (jkuste besoin d'un critère de convergence de séries). J'ai parfaitement conscience que c'est la même chose de définir cos et sin par leur série ou comme les parties réelle et imaginaire de exp. le point de vue le plus expeditif etant exp complexe et groupes topologiques, mais fait trop appel à des concepts plus généraux et moins connus et qu'on peut parfaitement contourner avec un peu d'analyse réelle : c'était le but du petit paagraphe. Quand à savoi si sa place est la ou sur l'exponentiel complexe je n'en sais rien. En tout cas il me semble suffisement simple poue etre lu et compris par quiconque s'interesse à une "vraie" définition de pi...

Sur la définition à partir des séries entières, je préfère définir une exponentielle complexe, en donner les propriétés (et dire qu'elle prolonge l'exponentielle réelle) et introduire un noyau d'un morphisme, comme il est actuellement rédigé dans la page. C'est cette approche que je connais (comme ex-étudiant par exemple). Asram (d) 27 mars 2010 à 17:04 (CET)

"actuellement rédigé dans la page" tu parles des trois lignes qui suivent le "voici quelques arguments" de cette page-ci ou de quelque chose de la page actuelle de pi dans WP ? alexandre.

Cette page-ci (la fin des quelques détails) Asram (d) 27 mars 2010 à 18:50 (CET)

Ai-je mal compris où il s'agit aussi de montrer que les différentes définitions sont équivalentes? qu'on peut lier l'introduction à l'aide de séries entières à un point de vue géométrique? (je n'y ai jamais réfléchi, je vais m'y mettre) Asram (d) 28 mars 2010 à 01:52 (CET)

Je suis d'accord avec l'opinion de Touriste exprimée par le titre de la section : l'article a un lectorat grand public. On doit pouvoir accéder à ces choses bien-sûr. Quelqu'un qui se pose la question de comment on définit pi dans les livres de math actuels (sûrement pas par approximation de polygones il me semble) doit pouvoir trouver une réponse en quelques mots et un lien vers des détails qui sont pertinents dans des articles plus spécialisés (j'avais suggéré fontion trigonométrique). Pour la définition géométrique, là je ne sais pas si je suis d'accord : c'est la définition des dictionnaires actuels, par la longueur de la circonférence, elle se rattache directement à une intuition géométrique, elle doit être développée de ce point de vue à mon avis. Historiquement elle va plus ou moins des origines à Viète (si on met Madhava de côté). Ca n'est pas passionnant de trop de la "mathématiser" (les gens que ça intéresserait savent le faire eux-mêmes). Il faut juste dire ensuite (plus que ce qu'il y a dans l'article actuel) que les définitions maintenant usuelles permettent de retrouver ces propriétés, avec les outils "modernes" (théorie de l'intégration). C'est ce qui me semble le plus intéressant à souligner, et qui est peut-être mal exprimée par les sous-titres actuels : une approche qui s'appuie sur l'intuition géométrique, et une approche dans le cadre des math. actuelles qui a éliminé de ses fondements l'intuition géométrique depuis le XIXème, Weierstrass, Dedekind etc. Même si elle est mathématiquement dépassée, la première est toujours vivante (grand public, enseignement au moins pré bac).

Les définitions par la théorie élémentaire de l'intégration : il faudrait des sources, mais est-ce vraiment commode, et utilisé (comme définition) ?

Le passage par les séries réelles (§ trigo), ça a l'avantage d'être compréhensible à un niveau pas trop avancé, je ne crois que personne ne conteste l'intérêt, ça devrait être juste dans le même paragraphe. Proz (d) 28 mars 2010 à 23:49 (CEST)

Je viens de comprendre : il s'agit de l'aperçu, accord aussi sur ce point avec Touriste. Ce serait mieux de regrouper puisqu'ensuite, on se sert bien quand même aussi de la série entière complexe. Proz (d) 29 mars 2010 à 01:20 (CEST)

Divers

Probabilités

Il me semble qu'il faudrait une section concernant l'intervention de $\pi$ en probabilités, avec par exemple un renvoi vers l'aiguille de Buffon, ce qui permettrait de légitimer quelques formules remarquables (ie de les utiliser en proba plutôt que dans une rubrique fourre-tout) : la formule des intégrales de Wallis est liée au jeu de pile ou face, et pour l'intégrale de Gauss, le lien est clair.

d'accord pour tout ça (je crois même que j'avais déjà suggéré un truc dans le genre  ;) ). Il me semble que le fait que la loi normale fasse intervenir pi pour etre normalisée est une bizarerie de calcul, certes, mais qui vaut la peine d'etre mentionnée tant la loi normale joue un role "central" en proba, mais je ne m'y connais pas suffisment (un vague souvenir d'une "pseudo-proba" pour que deux entiers soient premiers entre eux : y'a aussi du pi qui traine)...alexandre

Dans quelle galère ?? J'ai lu les commentaires de Laplace sur Wallis, assez elliptiques bien qu'il s'agisse de cercle, et Wallis a semble-t-il utilisé un produit infini divergent, mais il a dû se contenter de points de suspension, disons, sans théorie analytique derrière. Je n'ai après qu'un présupposé entre cette formule difficile à justifier et un équivalent à la Stirling du comportement de la probabilité, après 2n lancers de pièces d'avoir n fois pile et n fois face. Pour ce qui concerne la loi normale, la présence de Pi est assez défendable par le Théorème de Moivre-Laplace. Mais faute de source, je vais avoir du mal à être crédible, sans renoncer pour l'instant. Asram (d) 28 mars 2010 à 01:32 (CET)

PS: en parlant d'un passage à la limite, je voulais dire que si Pi intervient dans une loi binomiale, on le conserve par passage à la limite. Et, alexandre, ce que tu évoques fait plutôt appel à la fonction zêta de Riemann où dans le cas d'un nombre pair, une puissance de Pi intervient. Asram (d) 28 mars 2010 à 01:37 (CET)

J'ai lu une traduction française de Wallis, et survolé l'original en latin, où l'on trouve de tout en termes de fractions; j'ai une source qui donne une réponse avec un produit infini divergent, et je subodore qu'on ne retient dans ses écrits que ce qui est vrai mathématiquement (d'autres grands mathématiciens ont fait des raisonnements non rigoureux à l'aune actuelle, le calcul de Pi carré sur 6 comme somme des inverses des carrés des entiers par Euler par analogie avec les relations entre coefficients et racines d'un polynôme est épatante lire ici, mais injustifiée ). Donc je ne sais pas quoi faire de ce qui suit.

c jetable sans pb

Dans son Arithmetica Infinitorum paru en 1655, John Wallis établit

«  par une série d'interpolations et d'inductions heureuses, [...] le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, exprimé par un produit infini qui, lorsqu'on l'arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus en plus rapprochées, résultat l'un des plus singuliers de l'Analyse  »

la formule pouvant s'écrire:

${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}={\frac {3\times 5\times 7\cdots \times (2n+1)\times \cdots }{2\times 4\times 6\cdots \times (2n)\times \cdots }}$

ce qu'on exprime aujourd'hui de manière plus rigoureuse avec la notion de produit infini sous la forme :

${\frac {2}{\pi }}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {7}{6}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4\cdot n^{2}-1}{4\cdot n^{2}}}\right)$

 

Formules sommatoires

Bien sûr, il y en a des tas, trop donc, mais certaines sont historiques; en 1676 Newton utilise le développement en série entière de arcsin calculé en 1/2; en 1755, Euler a une espèce de développement de arctan calculé en 1; mais cela pourrait figurer dans une comparaison des vitesses de convergence dans une rubrique calcul approché plutôt que dans un historique?

je deteste une formule toute seule ! si tu sais les mettre en valeur ce serait cool ! tu te joins à nous pour cette tentive d'article ? alexandre

on dirait que j'ai commencé Asram (d) 27 mars 2010 à 18:42 (CET)

Bibliographie

La mienne sera quasi exclusivement:

• Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon, Autour de nombre Pi, éd. Hermann, éditeurs des sciences et des arts, Paris, 1999

Asram (d) 27 mars 2010 à 16:39 (CET)

Plan de travail?

Bon, l'idée tient toujours? et si oui, que s'agit-il de faire? quels sont les défauts de l'article Pi ? Asram (d) 28 mars 2010 à 20:07 (CEST)

Tu trouves des pistes sur discussion:Pi. La structure ne me semble pas bonne. L'article contient beaucoup de choses à récupérer. Je ne pensais rédiger qu'un fragment ici. Je confirme ce que j'écris là bas, je peux terminer une première partie sur une approche géométrique intuitive, dans le style de ce que je rédige ici, placée après un paragraphe définition réduit à la seule sous-section définition de l'article actuel. Il n'y a probablement rien à garder des définitions alternatives. Irrationalité et transcendance sont à traiter plus bas. Il vaudrait mieux parler de quadrature du cercle. En gros je souhaite déjà une première partie plus accessible. Je ne suis pas encore clair sur le traitement de l'histoire (rentrer dans trop de détails trop tôt ne me semble pas utile, quelques uns comme ce que j'ai essayé de faire ce soir, puis une synthèse en fin de section ?).

Je peux faire de la relecture, éventuellement réorganiser un peu la partie histoire trop linéaire, mais je n'ai pas le temps (ni vraiment l'envie) de faire plus. Pour la suite, pour l'approche analytique, je n'entendais pas commander directement par la définition, mais parler des séries convergentes (Artan, etc.), une approche pré XIXème. Mais vous êtes les maîtres d'oeuvre. Proz (d) 29 mars 2010 à 03:38 (CEST)

Remarques

C'est anecdotique, mais signaler que c'est le nom d'une salle du Palais de la découverte, où sont affichées les 704 premières décimales, ce qui dispensera de les donner sur cette page?

c'était dans la version avant remaniement que j'ai signalée en pdd. Je suis plutôt pour (autant "franciser" les anecdotes plutôt que de lire les mêmes partout).

Evoquer l'origine de la notation (comme dans l'article Pi) et son auteur présumé (le lien donné donne une réponse plus complexe) et dire pourquoi: Pi c'est la lettre P comme Périphérie? Dans la correspondance entre Euler et Wallis, c'est la lettre p qui est aussi utilisée.

J'avais rédigé récemment ce petit § dans l'article (et remis le lien, Cajori qui est celui que tous les autres citent sur ce point), j'ai préféré ne pas tout dire. Proz (d) 28 mars 2010 à 22:53 (CEST)

Approche géométrique

Plutôt un titre évoquant explicitement la notion d'aire ou de mesure? Problème qui remonte à 40 siècles, voir le papyrus Rhind où l'on dispose d'une approximation à 0.02 près?

1 pourquoi pas ? 2. L'approximation égyptienne est une approximation pour l'aire (rien n'indique qu'ils aient compris que c'est la même chose pour la circonférence, source Katz par ex.), c'est ce que je prévoyais dans approximation par un octogone. Proz (d) 28 mars 2010 à 23:01 (CEST)

Remarques du jour

Dans encadrements par un polygone régulier, pk les Babyloniens et la Bible ? C'est le même procédé? Asram (d) 29 mars 2010 à 03:01 (CEST)

Il s'agit juste de l'approximation par 3 qui ne demande pas l'encadrement. On peut se douter que ça vient de l'hexagone, mais je ne pense pas que l'on sache vraiment, même pour les babyloniens (époque d'Hamourabi, par ailleurs on a quelques tablettes trouvées plus récemment, qui utilisent une meilleure approximation). Je n'ai d'ailleurs pas écris que c'était ainsi qu'ils faisaient. Si on a l'impression du contraire c'est un problème. C'est tout le problème de mêler histoire et math. J'ai essayé de présenter d'abord l'aspect "math", puis de façon bien séparée des indications historiques. On a vraiment l'impression que l'on trouve l'encadrement dans la bible ? Proz (d) 29 mars 2010 à 03:56 (CEST)

Oulah, qu'il soit clair, je ne suis pas dans l'état d'esprit de critiquer pour critiquer, surtout en étant aimablement accueilli par l'hôte :) J'anticipe les critiques qui pourraient être émises. Je me demandais si c'était le meilleur emplacement, mais je ne sais pas. Sur la Bible, je ne sais pas ce qu'on y trouve, donc je ne peux pas répondre. C'est le gros problème de ce thème, c'est de faire un plan qui tienne la route où l'on ne force pas l'apparition de telle approche. Là, sans réfléchir, et parce que je n'imagine pas la Bible comme une source historique (désolé pour les catholiques ou chrétiens), je l'enverrai en introduction pour mentionner qu'une approximation de Pi y figure, comme accroche, et basta, si on n'en sait pas plus. Et, oui, le choix des titres et intertitres conditionne ce qu'on doit y trouver, je pense? Si je parais sec ou déplaisant dans mes propos, merci de me le faire sèchement ou déplaisamment remarquer. Ce n'est pas mon intention, juste de la maladresse. Asram (d) 29 mars 2010 à 04:15 (CEST)

Aucun problème, je ne me suis pas senti agressé une seconde. Je suis à fond pour la relecture, avec des témoignages ou explications en pdd. On a l'outil pour le faire et on n'en profite pas assez. J'ai essayé de désambiguïfier, mais c'est peut-être à déplacer. La bible est une source historique primaire comme une autre, citée en tant que telle par la référence que j'ai utilisée. Il vaudrait mieux ne pas en parler que d'en parler en intro (c'est plus anecdotique que les babyloniens). Proz (d) 29 mars 2010 à 11:54 (CEST)

un petit point

On a l'air parti (bien parti ?) pour proposer quelque chose, du coup il va falloir faire des choix (et là on va pouvoir commencer a s'engueuler ;) ). Sur le plan, ca a l'aire de prendre une forme : 1/ maths 1.1/ géométrie 1.2/ analyse 1.3/ nature de pi 1.4/ approximation [a moins qu'on en face une grosse section a part] 1.5/ d'autres propriétés [là c'est un aveu de faiblesse de faire un fourt tout pour le reste]

2/ Histoire [détails inconnus par moi]

3/ Culture populaire

Sachant que pour l'instant on ne s'est attelé qu'au 1/. Il reste des questions : est-ce que les détails de la méthode d'archimède sont dans géométrie ou dans histoire ? Qu'est-ce qu'on choisi comme définition ? On est d'accord sur le fait que n'importe quelle propriété équivalente peut servir de definition, mais pour etre plus lisible je crois qu'il faudrait en choisir une et après dire que telle ou telle formule pourrait servir de définition. L'important dans cette définition par rapport à la version géométrique étant "sa plus grande rigueur". Perso (et aussi parceque c'est ce qui est le plus souvent fait) j'opte pour la version série (avec ou bien le revetement R\to U, ou bien de la trigo, a mon sens c'est la meme chose, juste que le formelisme trigo est plus accessible je crois). Après le fait que quelqu'un definisse pi par la formule des résidus ca me parait un peu accrobatique, non ? par contre on avait oublié celle-ci dans les trucs a absoluement mentionner. L'autre question c'est faut-il mettre les détails dans la page ? de manière générale, je préfère une page bien complete qui peut-etre est plus chiante à lire mais qui fait a peu pres le tour du truc, et il me semble qu'une définition propre de pi devrait figuré ici, d'autant plus que la version que j'en ai proposé me semble lisible à quiconque connait le TVI je dirais...Alexandre alexandre ([[Discussion utilisateur:Alexandre alexandre|d]]) 30 mars 2010 à 11:12 (CEST)

Bonjour, l'intervention de la trigonométrie comme conséquence des séries entières me gêne un peu: cela ne va pas du plus simple au plus compliqué. Est-ce qu'on ne peut pas avoir la dérivabilité par d'autres moyens (comme fait-on au lycée? on admet?)

justement, jusqu'au bac, il me semble que les fonctions cos et sin sont au mieux définies par l'abscisse et l'ordonné d'un point se baladant sur le cercle trigo. Là encore pour avoir une définition un peu plus rigoureuse on a le choix entre série (soit leur developpements, ce qui me semble un peu parachuté, soit les parties réelle et imaginaire de e^i\theta , un peu plus visuel à mon avis) ou l'integration (via arccos et arcsin définies comme des primitives des inverses de racine de 1-x^2 (resp son opposé))... bref, un peu comme pour pi. Les deux sujets me semblent tellement liés qu'on ne peut parler de l'un sans l'autre, non ? Je dirai qu'au lycée on admet même si on pourrait utiliser les formules cos (a+b) et sin(a+b), mais apres il faut connaitre les petits equivalents classiques...

Qu'appelez-vous définition par la théorie élémentaire de l'intégration? Si c'est le calcul de Pi/4 par intégration de racine de 1-t^2, c'est la méthode de Wallis, non? Après, la formule des résidus n'est juste qu'une théorie moins élémentaire?

Que contiendrait la partie historique? Est-elle utile, ou faut-il dans les définitions précédentes dater et sourcer leur apparition?

Est-ce qu'on n'est pas en train de mélanger les définitions possibles et les modes de calcul? (définition : géométrique élémentaire + noyau d'un morphisme avec l'exponentielle complexe; calculs: polygones + calcul intégral?)

oui oui je suis d'accord, il faut qu'on soit clair ce qui à mon avis impose de CHOISIR une définition et ENSUITE de donner des propriétés, en mentionnant évntuellement que tel auteur a pris cette propriété pour définition. Mon choix (mais je crois que c'est le plus répendu) serait d'utiliser les séries.

Ce ne sont que des questions, pas des affirmations. Asram (d) 30 mars 2010 à 14:44 (CEST)

Plus j'y réfléchis, plus je me perds :( Je me demande si le plan est meilleur possible. Je n'arrive pas à hiérarchiser. Je propose tout de même mes idées du jour, absolument pas abouties, mais pour avoir des réactions. Asram (d) 30 mars 2010 à 19:40 (CEST)

autre proposition de plan

I - Définitions et premiers calculs

1. Définitions de Pi

• rapport de l'aire du disque au carré de son rayon; justifier que c'est un invariant pour valider cette définition ou prendre le disque unité?
• rapport du périmètre du cercle à son diamètre ? (et mêmes questions)
• à partir de l'exponentielle complexe et noyau de morphisme de groupe

2. Approches géométriques de Pi

• à l'aide de polygones, et la notion géométrique d'aire + octogones et autres idées
• à l'aide de la notion géométrique de longueur, celle de l'arc géométrique orienté comme borne supérieure des longueurs des lignes polygonales inscrites, ce qui conduit à

$\pi =2\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1}{(1-x^{2})}}}\ dx$,

Noter que de cette approche on déduit les définitions des fonctions trigo et leurs propriétés

• à l'aide de la notion analytique d'aire: (+ l'approche de Wallis et son produit infini)

${\pi \over 4}=\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx\,$

• l'aide de la notion arithmétique: Pi comme moyenne arithmétiques des r(k) où r(k) est le nombre de décompositions de k comme somme de deux carrés (ce qui donne une démonstration très visuelle géométriquement)?? ou garder ça pour le III ?
• une transition vers ce qui suit, en explicitant l'équation cartésienne et le paramétrage trigonométrique du cercle, ce qui donne le lien avec l'exponentielle complexe?

3. Approches analytiques de Pi

• détailler le lien avec les fonctions trigo? (mettre un lien sur les séries de Fourier? ou garder ça pour le III?)
• on revient donc à la formulation sous forme d'une série;
• dès cette approche, les nombres e, i et Pi sont intimement liés;
• on peut évoquer d'autres séries qui donnent une valeur de Pi, en évoquant l'amélioration de la méthode, et en renvoyant vers les calculs approchés?

II - Propriétés

1. Irrationnel

2. etc

III - Interventions de Pi

En proba, dans les autres sciences ? je sais pas si c'est une bonne idée, mais ça peut contenir des formules remarquables

IV - Calculs approchés (comprenant d'autres formules remarquables?)

 

Ou une version brouillon (qui ne prétend pas se substituer à cette page de travail! mais si je copie ici, ça va faire très lourd) Asram (d) 30 mars 2010 à 21:31 (CEST)

Il faut quand même s'appuyer sur les sources : les dico donnent comme définition le rapport du périmètre du cercle sur le diamètre ou un truc analogue sur les longueurs (voir le tlfi qui en cite d'autres). Le rapport de l'aire sur le rayon au carré devient une propriété, d'où la présentation que je propose.

Idem pour les def. plus mathématiques, il faut des sources, et présenter comme définition ce qui est habituellement présenté comme définition, et le reste comme propriété.

Parler de disque unité ne convient que pour une définition "avancée". Je suis extrêmement réticent à la mention d'exponentielle complexe et de morphisme de groupe dès le début de l'article.

La méthode d'Archimède s'expose dans une partie math. (ici ou dans un autre article), et se commente dans une partie histoire. On ne va pas exposer la méthode d'Archimède comme Archimède (pas de notation fonctionnelle ou indicée, pas de décimaux, parler en termes de proprotion géoémétrique ...).

J'ai fait quelques imports pour indiquer ce que j'aimerais voir comme début d'article, ce qui fait loin d'un plan complet mais est une indication. IL faudrait probablement ajouter un paragraphe "quadrature". Est-ce que ça vous semble compatible avec votre, vos, projet(s) ? Proz (d) 31 mars 2010 à 02:23 (CEST)

Je réponds en plusieurs fois (mais ça ne se verra qu'à l'historique), au fur et à mesure de la relecture (et des modifs, révertables), pour ne pas oublier ;) D'abord, l'intro me paraît très bien, parfaitement allégée et digeste, même si j'aurais ajouté une fois pour toutes que c'est le nom d'une salle du palais de la Découverte où les décimales sont affichées. Oublions l'exponentielle complexe en définition, mais pas dans le commentaire sur la définition plus rigoureuse des mathématiciens: 1. elle n'est pas plus rigoureuse 2. Arnaudiès n'est pas un bouquin spécialisé, il est généraliste mais de niveau prépa ou licence 3. d'autres bouquins de même niveau (j'ai des références plus actuelles) partent de l'exponentielle complexe. Enfin, partent, c'est un aboutissement, où l'on repart à zéro vers des connaissances antérieures, et le plan pourrait tenir compte de cette idée: on part de la géométrie, on apprend des maths, et à la fin on redéfinit à l'envers.

C'est dommage de ne pas donner la définition alternative par l'aire et le diamètre via De la mesure du cercle quitte à développer cet article (plutôt qu'une référence anglophone, je veux dire on a la matière nécessaire).

J'ai un peu peur qu'on soit reparti comme dans l'article original à se répéter beaucoup, on approche par des polygones, on parle d'Archimède, et encore dans l'Histoire?. Cela me parait pourtant un des défauts majeurs de l'article actuel. Je n'ai, ceci dit, toujours pas d'idée définitive sur le sujet. Asram (d) 31 mars 2010 à 03:30 (CEST)

Je ne suis pas trop pour les anecdotes dans l'intro, il vaut mieux un résumé introductif où l'essentiel ressort. Le résumé est éventuellement à améliorer quand l'article avance. Pour lelong-Ferrand A. : j'ai pris ça parce que je l'ai sous la main, on est d'accord c'est un vieux bouquin de prépa, mais à une époque c'était encore utilisé à l'agreg (bref un peu une référence, je ne sais pas si c'est toujours le cas), il faut trouver une formulation plus adéquate que spécialisé, et on peut mettre plusieurs sources (j'ajouterais bien le petit Rudin qui est référencé dans l'article, et qui me semble un peu aussi une référence à ce niveau), enlever celle-ci ... Exp. complexe : pour moi les fonctions trigo. se présentent proprement par l'exp. complexe, ça n'est pas la peine de le dire tout de suite, mais plus bas bien-sûr.

L'article De la mesure du cercle : je l'avais loupé celui-là. Mais Archimède ne définit pas pi par cette méthode. Il n'a pas de propriété de la borne sup., la définition repose sur l'intuition géométrique. L'article peut servir.

Pour moi si la définition se base sur l'intuition géométrique elle est moins rigoureuse, mais évidemment on peut la rendre rigoureuse. A dire autrement? La question c'est trouve-t-on vraiment des bouquins de math. sérieux qui font une présentation cohérente, sans recours à l'intuition géométrique, disons de l'analyse élémentaire (calculus) en définissant Pi comme limite de polygones ? (au lycée ça n'est pas possible). Si oui il ne faut pas hésiter à le mentionner, et dire comment ils font (évidemment ça ne s'arrête pas à pi, il faut au moins les propriétés usuelles des fonctions trigo.). Si non pas la peine.

L'idée serait de ne pas répéter : le problème de présenter les deux en même temps, c'est que c'est de la mauvaise histoire, ou alors ça complique. Par exemple pour Archimède : sur le plan histoire, il faut parler de la méthode d'exhaustion, un truc certes intéressant, mais beaucoup moins utile aujourd'hui que la notion de limite.

Enfin le plan partir de la géométrie puis y revenir par des méthodes plus rigoureuses : mais il me semble que c'est ce que l'on est en train d'essayer de faire. Proz (d) 1 avril 2010 à 00:26 (CEST)

Globalement d'accord avec l'objection des objections, donc je ne reprends que les points où j'ai quelque chose à dire (sauf De la mesure du cercle, j'ai un peu l'esprit ailleurs). Sur la rigueur de la définition initiale, ça se discute, mais on peut rester neutre dans la formulation. Je pense que l'Arnaudiès doit encore être fourni à l'agrég., c une référence, je disais juste qu'il n'est pas spécialisé. Pour les fonctions trigo., je pensais passer par un point de vue de niveau intermédiaire, mais on va retomber sur le problème de la longueur, donc oki. Sur les polygones, il y a bien sûr les bouquins qui parlent de Pi qui l'exposent, celui que j'ai déforme bien sûr la méthode pour utiliser des outils plus modernes. Je suis conscient de l'exposé en deux temps. Je lance un truc, je peux y renoncer aussi facilement que sur le reste: donner un point de vue historique, fournir dans une boîte déroulante une justification moderne, et mettre dans un historique seulement un récapitulatif, plus le détail de ce qui n'aurait pas été évoqué? En me relisant, je doute. Asram (d) 1 avril 2010 à 04:00 (CEST)

La partie historique de ce site contient les mêmes idées que mon bouquin (qui pourrait servir de référence) sur les polygones. Asram (d) 1 avril 2010 à 18:05 (CEST)

Discussion intro

Ce qui est proposé ici en intro est déjà très bien. Remarquons tout de même que c'est parce que ce nombre est noté π qu'il est appelé « pi ». La première phrase semble sous-entendre une relation de cause à effet dans le sens contraire. Que pensez-vous de modifier un peu l'introduction dans ce sens-là :

Le nombre π (qui se prononce « pi ») est un nombre réel dénotant le rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre dans le plan euclidien. Sa notation est une lettre grecque [initiale de « périmètre » ?], introduite au [XVIIIe ?], mais ce nombre était déjà évalué [antérieurement, détails en quelques mots, autres civilisations ?].
Les valeurs approchées les plus couramment employées sont [...]
Il n'existe pas de représentation exacte de π sous forme d'une fraction d'entiers, autrement dit ce nombre est irrationnel. Plus précisément, il est transcendant, c'est-à-dire [...] mais ce résultat n'a pu être démontré que [très tard], montrant du même coup l'impossibilité de la quadrature du cercle. Cela signifie qu'étant donné un disque dans le plan, il n'existe pas de construction géométrique à la règle et au compas permettant de produire un carré de même aire.
Aussi appelée constante d'Archimède, le nombre π exprime aussi le rapport entre l'aire d'un disque et le carré de son rayon, mais il apparait également dans de nombreux problèmes d'analyse ou d'arithmétique.

Ambigraphe, le 31 mars 2010 à 22:23 (CEST)

ok pour parler de l'origine du nom dans l'intro, XVIIIè suffit, je dirais "dont l'usage se répand à la fin du XVIIIe" (cf. article actuel). Ok pour l'explication de la quadrature. Ok pour mentionner qu'il apparait ailleurs. Est-ce qu'il faut garder cette histoire de constante d'Archimède ? Je préfère l'aire dès la définition (c'est attendu,là il faut le chercher). Proz (d) 31 mars 2010 à 23:45 (CEST)

perso, l'intro proposée me convient, par contre c'est la nouvelle partie "definition" qui me semble inutile : elle met juste une formule sur la phrase de l'intro. cependant la phrase "il s'avère..." est suffisemment concise pour figurer dans l'intro, comme ça on dit aussi qu'on va vraiment définir pi. Alexandre alexandre (d) 1 avril 2010 à 11:03 (CEST)

au passage, puisque chacun fait sa proposition, voici la mienne : http://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisateur:Alexandre_alexandre/Brouillon. Je vais essayer de vous la vendre : il s'agit dans la première partie, d'aller à l'essentiel des résultats mathématiques (stricte minimum de approche géométrique pour avoir pi=C/d=A/r^2 indépendemment du cercle, une définition a peu près propre pour avoir sin\pi=0 ce qui suffit a donner une preuve simple de son irrationnalité. la mention de sa transcendance et quelques formules choisies très arbitrairement. Puis qelques problèmes ouverts. Ensuite, il y aurait une partie histoire qui pourrait reprendre l'actuelle partie histoire en gros et une partie sur les calculs de décimales qu'il faudrait commenter [mais je sais pas faire ;) ]. Enfin le truc sur "culture populaire" avec le poeme et les anecdotes. Je maintiens qu'il n'y a pas lieu de faire une partie physique, ou sinon on peut aussi en faire une dans la page sur le nombre 2 qui intervient également dans E=mc^2 et deux fois dans energie cinétique = 1/2 mv^2...)

Je ne tiens pas forcément à « constante d'Archimède », mais cette appellation semble provenir de la démonstration par Archimède de l'égalité entre le rapport de la circonférence au diamètre et le rapport de l'aire au carré du rayon. Je propose de déplacer alors cette information plus loin et de remplacer la deuxième phrase ci-dessus par :

Sa notation est la lettre grecque « π », initiale de [périmètre en grec ancien], dont l'usage s'est répandu en Europe [et ailleurs ?] à la fin du XVIIIe. Ce nombre est parfois aussi appelé constante d'Archimède, du nom de ce philosophe et mathémacien grec qui aurait démontré que π correspond également au rapport constant entre l'aire d'un disque et le carré de son rayon.

Du coup, on peut remplacer la dernière phrase par :

Le nombre π intervient aussi dans de nombreux problèmes d'arithmétique et d'analyse, ce qui donne parfois lieu à une redéfinition à partir de l'exponentielle complexe.

Je pense qu'il serait bien aussi de mettre une phrase sur l'aspect culturel et notamment la fascination pour ses décimales, peut-être juste après la mention du fait qu'il est irrationnel. Ambigraphe, le 1 avril 2010 à 13:10 (CEST)

J'aime bien l'intro. d'Alexandre, qui reprend la bonne intro. de notre hôte en tenant également compte de certaines remarques. Je la reformule ainsi: (Asram (d) 1 avril 2010 à 18:02 (CEST))

Intro

En mathématique la lettre grecque $\pi$ (lire : "pi") désigne le rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre dans le plan euclidien ; ce nombre réel est aussi la valeur du rapport entre l'aire d'un disque et le carré de son rayon. Il s'avère que cette définition géométrique, historiquement la première et la plus intuitive, a une alternative plus directe pour des mathématiciens souhaitant définir π en toute rigueur. Des ouvrages plus avancés définissent π par l'analyse (voir plus bas).

Le nombre π est parfois appelé constante d'Archimède. Des valeurs approchées courantes sont :

3,14 ; 3,1416 ; 22/7 ; 355/113

Mais π est un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’il n’est pas le rapport de deux nombres entiers. Une salle du Palais de la découverte porte son nom et affiche les premières centaines de décimales du nombre, qui restent l'objet d'une certaine fascination.

En fait, Pi est nombre est transcendant. Cela signifie qu’il n'existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine. La transcendance de π établit l’impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : on ne peut pas construire, à l’aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface d’un disque donné.

 

Je commente la version d'Asram :

• La première phrase doit nommer le concept, je crois que c'est dans les recommandations. Nous parlons du nombre π et non pas de la lettre.
• Il vaut mieux ordonner les informations de la plus simple à la plus complexe. Parler d'une définition analytique avant même d'avoir donné les valeurs approchées me semble un mauvais départ. L'alternative est à mon avis à balancer en fin d'intro.
• Si on cite l'appellation « constante d'Archimède », autant le faire au moment où l'on rapproche les deux définitions géométriques, puisque la démonstration de l'égalité des deux rapports en serait à l'origine.
• Encore une fois, les concepts doivent être avancés par ordre croissant de complexité : la notion de fraction précède celle d'irrationnel.

Je relance en essayant de tenir compte de tout ce qui a été proposé :

En mathématiques, le nombre π (qui se prononce « pi ») est un nombre réel dénotant le rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre dans le plan euclidien. Aussi appelé parfois constante d’Archimède, il correspond également au rapport constant entre l’aire d’un disque et le carré de son rayon. Sa notation est la lettre grecque « π », équivalente au 'p' latin, probablement comme initiale de periphery (« circonférence ») et dont l’usage s'est répandu en Europe à la fin du XVIII^e siècle.
Les valeurs approchées les plus couramment employées sont :
3,14 ; 3,1416 ; 22/7 ; 355/113
Il n’existe pas de représentation exacte de π sous forme d’une fraction d’entiers, autrement dit ce nombre est irrationnel. La suite de ses décimales n’est donc pas périodique et reste l’objet de conjectures, tout en donnant lieu à un folklore culturel.
Plus précisément, π est transcendant, c'est-à-dire qu’il n'existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine. Ce résultat de Ferdinand von Lindemann, au XIX^e siècle, montre du même coup l’impossibilité de la quadrature du cercle : étant donné un disque dans le plan, il n’existe pas de construction géométrique à la règle et au compas permettant de produire un carré de même aire.
Le nombre π intervient également dans de nombreux problèmes d’analyse ou d’arithmétique, ce qui donne parfois lieu à une redéfinition à partir de la fonction exponentielle complexe.

Ambigraphe, le 2 avril 2010 à 09:48 (CEST)

Très bien pour moi. À propos de la notation, il faudrait sourcer puisqu'on n'en reparlera pas dans l'article? Il y a un lien dans Pi, qui atteste la période où la notation intervient, mais elle semble associée par Wallis et Euler à periphery et non pas à perimeter? Asram (d) 2 avril 2010 à 15:59 (CEST)

J'ai corrigé en conséquence. Ambigraphe, le 2 avril 2010 à 21:17 (CEST)

Y a-t-il des objections à cette dernière version ? Asram (d) 3 avril 2010 à 02:02 (CEST)

Je ne comprends pas la fin dernière phrase. Il ne s'agit pas d'une redéfinition, mais d'une définition quand l'on souhaite présenter les mathématiques de façon cohérente, à partir d'une base assez minimale (arithmétique et ensembles en gros). Je ne vois pas très bien le "ce qui donne ..." et ça me semble inutile dans l'intro.

La notation semble se répandre à partir d'Euler qui écrit souvent en latin. Cajori ne dit pas qu'Euler emprunte à Jones sa notation. la notation de pi pour la circonférence (pi/delta) est antérieure et utilisée dans un texte en latin (cf. Cajori et ce qui est dans l'article pi), et ça ne passe pas forcément par l'anglais. Autant ne pas se prononcer (rester au grec en se contentant de constater, passer au latin, ...).

Le reste ok. Proz (d) 4 avril 2010 à 00:06 (CEST)

Interventions de Pi

Bonjour,

Est-ce qu'on prévoit une section analogue à Utilisation en mathématiques et en sciences de l'article d'origine? (Je suppose que oui et je suis plutôt d'accord avec Alexandre pour ignorer les formules proposées en physique).

Je propose alors la sous-rubrique suivante: (Asram (d) 1 avril 2010 à 23:56 (CEST))

En théorie des nombres

Le nombre Pi intervient dans le comportement asymptotique de certaines fonctions arithmétiques.

• Gauss a établi de manière géométrique que Pi est la moyenne arithmétique des n premières valeurs de la fonction r, où r(n) est le nombre de décomposition de l'entier n comme somme de deux carrés d'entiers:

$\Pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {r(1)+r(2)+....+r(n)}{n}}$

• Si Q(n) désigne le nombre d'entiers k tels que $1\leq k\leq n$ et qui sont sans facteurs carrés, on a également le comportement asymptotique:

${\frac {6}{\Pi ^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {Q(n)}{n}}$

Le théorème de Cesàro énonce que ce dernier quotient est aussi la probabilité que deux entiers soient premiers entre eux

Point deux

Bonjour,

Je crée cette section, j'ai l'impression de perdre le fil sinon, et certaines réponses dans des sections précédentes m'ont échappé.

Je reconnais être un peu frustré par le rythme d'avancement, d'autant que je subis un décalage horaire qui me met à contretemps?

• Sur l'intro, la version d'Ambigraphe est-elle la dernière (elle me convient très bien) ou faut-il modifier quelque chose?

• Quelle méthodologie pour continuer? Comme l'écrit Proz, beaucoup de choses sont récupérables de l'article initial; faut-il discuter lesquelles, ou choisir un plan et voir comment l'ancien rentre dans le nouveau ?

• Comment gère-t-on l'aspect historique? Pour chaque sous-section (par ex. l'irrationnalité), on détaille l'Histoire avec des compléments sur des méthodes plus nouvelles? on se contente d'une brève description de la méthode historique, et l'on détaille une méthode plus récente et plus accessible? La rubrique Histoire doit-elle être détaillée, du coup, ou être un récapitulatif?

J'hésite évidemment à modifier la page utilisateur de Proz, même si je l'ai déjà fait. J'utilise évidemment ma page brouillon pour réfléchir, sans que cela signifie que je travaille indépendamment des autres intervenants. (Il me semble que j'ai vu disparaître plusieurs propositions sans que je m'y oppose, et effectivement, je trouve les contre-arguments pertinents). Mais j'avoue que c'est difficile pour moi d'avancer ainsi.

Par exemple, j'ai une démonstration élémentaire alternative à celle d'Alexandre (je crois?) sur l'irrationnalité par des méthodes élémentaires. Mais je ne sais pas quoi en faire: l'ajouter sur la page utilisateur? la proposer ici? l'inconvénient de l'exposé actuel est qu'il détaille des points que je trouve secondaires (dans ce contexte) sans détailler des calculs intermédiaires pas si aisés à comprendre sans prendre un stylo.

Cela pose aussi la question des démonstrations qui doivent figurer dans l'article, j'imagine volontiers un article généraliste, qui doit autant que possible renvoyer à d'autres articles pour les justifications, quitte à compléter ces autres articles, et garder uniquement les démonstrations qu'on ne peut pas mettre ailleurs.

Et j'ai l'impression que tant qu'on n'a pas un plan (l'actuel ne me convient pas, j'en ai proposé d'autres), je ne pourrais pas proposer des contenus.

Asram (d) 3 avril 2010 à 02:48 (CEST)

Pour ma part, je trouve que l'article initiale est assez bon sur la partie historique : complet mais un peu fouilli. Par contre sur la partie définition/propriété il me semblait vraiment pas clair du tout : je crois que c'est essentiellement celle-ci qui doit etre améliorée : a mon avis, en allant au plus simple sans se soucier d'aucune réference historique. Au passage, t'as très bien fait l'explication de I_n entier :-). Perso je ne crois pas pouvoir vous etre plus utile, j'ai mis tout ce que j'avais ici et dans le brouillon sur ma page...Alexandre alexandre (d) 3 avril 2010 à 13:24 (CEST)

Pour moi, la construction de l'introduction est fondamentale, parce qu'elle permet de résumer au maximum tous les points qui doivent être abordés et de réfléchir à l'ordre de présentation. Si la dernière mouture est stable (l'expression « folklore culturel » peut sans doute être améliorée et munie d'une référence), alors le plan en découle directement.

• Approche géométrique : définition par le périmètre, premières occurrences connues de son évaluation, problématique de l'évaluation d'une longueur courbe et résolution par des méthodes de rectification, constance des rapports par l'idée d'agrandissement, apport d'Archimède, fil conducteur de la démonstration de l'égalité des rapports, notations…
• Approximation numérique : note sur le caractère tardif de la considération de pi comme un nombre, approximation fractionnaire, décimale, par fraction continue, par des séries, par des racines itérées, autres algorithmes ; considérations sur les décimales, folklore…
• Relations algébriques : quadrature, formules diverses (Ramanujan entre autres), transcendance…
• Traitement analytique : construction formelle de la longueur par intégrales, approche trigonométrique, exponentielle complexe

Bon, ça n'est pas forcément convainquant. Quelqu'un a des commentaires ? Ambigraphe, le 3 avril 2010 à 22:37 (CEST)

Je voyais une gestion de l'histoire en au moins deux étapes (sans y tenir plus que ça). Les défauts actuellement c'est que, par exemple il manque le fait que ce n'est pas évident dans toutes les civilisations que l'aire et la circonférence donnent le même rapport), c'est pour le deuxième millénaire, tout est vu sur l'angle du calcul et de la chronologie, des découvertes de premier plan comme celles de Madhava ou Leibniz/Gregory sont sur le même plan que le calcul de Ceulen. On ne sait pas pourquoi ces calculs progressent alors que la méthode reste celle d'Archimède : utilisation d'une numération de position par ex. qui doit jouer, les difficultés de calcul (racine carrée itérée ...).

Je suis d'accord sur le diagnostic pour définition/propriété, mais pour importer dans l'article, d'autant que c'est assez sensible, il faudra quand même sourcer proprement (sans tomber dans des excès ridicules).

Il me semble qu'il va falloir des articles annexes (cf. version anglaise) c qui rend possible plusieurs démonstrations de l'irrationalité. Mon avis est qu'il faut privilégier dans l'article la plus simple.

Pour le plan d'Ambigraphe : la "problématique de l'évaluation d'une longueur courbe et résolution par des méthodes de rectification" me semble à aborder, mais à repousser dans une partie ultérieure. Sinon pourquoi pas ? Mais c'est aussi en faisant que ça vient. Proz (d) 4 avril 2010 à 00:42 (CEST)

Comme toujours (?), je suis le mouvement. L'idée d'articles annexes me paraît une bonne idée, y compris pour des démonstrations (la version anglaise a aussi un long formulaire), pour avoir un article d'exposé clair. Asram (d) 4 avril 2010 à 01:52 (CEST)

pour le plan d'ambigraphe, je suis contre (voilà c'est dit  :-p ). Je crois davantage en un plan ou l'on sépare les connaissances "mathématiques" de l'histoire (ou construction) de ces connaissances. Dans cette partie "math" il faut aller au plus vite a l'essentielle : une approche géométrique, parceque c'est ca l'intuition de pi ; une définition claire et conscise, parcequ'on fait des maths, et quelques résultats clefs ; le tout avec un soucis d'efficacité (preuves et présentations les plus rapides priment ici sur les "preuves historiques"). Ensuite, a travers l'aspect histoire, on peut blablater un peu sur les méthodes, la naissance des idées, les progrès des approxiamations...

A l'inverse, vous pouvez commenter mon mien de brouillon s'il vous plait.Alexandre alexandre (d) 4 avril 2010 à 14:14 (CEST)

Je ne vais plus savoir qui suivre . La place de l'Histoire reste problématique. Je suis favorable à l'idée de démo. rapides et non historiques quand c'est possible (et sourçable), ne serait-ce que pour éviter les répétitions. Asram (d) 4 avril 2010 à 16:15 (CEST)