Grassmannienne affine

En mathématiques, la grassmannienne affine d'un groupe algébrique G sur un corps k est un ind-schéma – une limite inductive de schémas de dimension finie – qui peut être considéré comme une variété de drapeaux pour le groupe des lacets formels G(k((t))) et qui décrit la théorie des représentations du groupe dual de Langlands ^LG à travers ce que l'on appelle la correspondance géométrique de Satake.

Définition de la grassmannienne via le foncteur de points

Soit k un corps, et soit $k{\text{-Alg}}$ la catégorie des k-algèbres commutatives et soit Set la catégorie des ensembles respectivement. Grâce au lemme de Yoneda, un schéma X sur un corps k est déterminé par son foncteur des points (en), à savoir le foncteur $X:k{\text{-Alg}}\to \mathrm {Set}$ qui envoie A sur l'ensemble X(A) des A-points de X. On dit alors que ce foncteur est représentable par le schéma X. La grassmannienne affine est un foncteur allant des k-algèbres vers les ensembles qui n'est pas représentable mais qui admet une filtration par des foncteurs représentables. En tant que tel, bien qu’elle ne soit pas elle-même un schéma, on peut la voir comme une réunion infinie de schémas, ce qui suffit pour lui appliquer avec profit des méthodes géométriques pour l’étudier.

Soit G un groupe algébrique sur k. La grassmannienne affine Gr_G est le foncteur qui associe à une k-algèbre A l'ensemble des classes d'isomorphisme de paires (E,φ), où E est un espace homogène principal pour G sur $\operatorname {Spec} A[[t]]$ et φ est un isomorphisme défini sur $\operatorname {Spec} A((t))$ de E sur le G-fibré trivial $G\times \operatorname {Spec} A((t))$. Par le théorème de Beauville-Laszlo (en), on peut également coder ces données en fixant une courbe algébrique X sur k, un k-point x sur X, et en considérant E comme un G-fibré sur X_A et φ une trivialisation sur (X − x)_A. Lorsque G est un groupe réductif, Gr_G est en fait ind-projectif, c'est-à-dire que c'est une limite inductive de schémas projectifs.

Définition comme espace quotient

Soit ${\mathcal {O}}=k[[t]]$ l'anneau des séries formelles sur k et soit ${\mathcal {K}}=k((t))$ son corps des fractions, c'est-à-dire le corps des séries de Laurent formelles sur k. En choisissant une trivialisation de E sur $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}$ entier, on peut identifier l'ensemble des k-points de Gr_G à l'espace quotient $G({\mathcal {K}})/G({\mathcal {O}})$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Affine Grassmannian » (voir la liste des auteurs).
• Alexander Schmitt, Affine Flag Manifolds and Principal Bundles, Springer, coll. « Trends in mathematics », 11 août 2010, xii+290 p. (ISBN 978-3-0346-0287-7 et 978-3-0348-0309-0, ISSN 2297-0215, DOI 10.1007/978-3-0346-0288-4, lire en ligne), p. 3-6