Isomorphisme de Satake

En mathématiques, l'isomorphisme de Satake, introduit par Ichirō Satake en 1963, est un isomorphisme entre l'algèbre de Hecke d'un groupe réductif localement compact sur un corps local non-archimédien et un anneau d'invariants du groupe de Weyl associé.

L'équivalence géométrique de Satake en est une version géométrique, introduite en 2007.

Énoncé

Soit G un groupe de type de Lie, K un corps local non archimédien et O son anneau des entiers. L'isomorphisme de Satake identifie l'anneau de Grothendieck des représentations complexes du dual de Langlands ^LG de G, avec l'anneau des fonctions G(O)-invariantes à support compact sur la grassmannienne affine. Plus formellement,

$\mathbb {C} _{c}[G(K)/G(O)]^{G(O)}\cong K_{0}({}^{\mathrm {L} }G-\operatorname {Rep} ).$

où G(O) agit sur G(K)/G(O) par multiplication à gauche.

Bibliographie

• Benedict H. Gross, « On the Satake isomorphism », dans Galois representations in arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996), vol. 254, Cambridge University Press, coll. « London Math. Soc. Lecture Note Ser. », 1998 (DOI 10.1017/CBO9780511662010.006, MR 1696481), p. 223-237
• Ivan Mirković et Kari Vilonen, « Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings », Annals of Mathematics, 2^e série, vol. 166, n^o 1,‎ 2007, p. 95-143 (ISSN 0003-486X, DOI 10.4007/annals.2007.166.95, MR 2342692, arXiv 0401222)
• Ichirō Satake, « Theory of spherical functions on reductive algebraic groups over p-adic fields », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 18,‎ 1963, p. 5-69 (ISSN 1618-1913, MR 0195863, lire en ligne)

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Satake isomorphism » (voir la liste des auteurs).