Méthode de la transformée inverse

La méthode de la transformée inverse est une méthode permettant d'échantillonner une variable aléatoire $X$ de loi donnée à partir de l'expression de sa fonction de répartition $F$ et d'une variable uniforme sur $[0, 1]$ .

Principe[modifier | modifier le code]

Cette méthode repose sur le principe suivant, parfois connu sous le nom de théorème de la réciproque : soient $F$ une fonction de répartition, $Q$ la fonction quantile associée, et $U$ une variable uniforme sur $[0, 1]$ . Alors, la variable aléatoire $X = Q (U)$ a pour fonction de répartition $F$ . Ainsi, pour échantillonner une variable aléatoire de loi donnée, il suffit de savoir échantillonner des variables uniformes sur $[0, 1]$ et de pouvoir calculer la fonction quantile de la loi souhaitée.

Le nom méthode de la transformée inverse provient du fait que la fonction quantile n'est autre que l'inverse généralisé à gauche de la fonction de répartition :

Q(u)=\inf \left\{x:F(x)\geqslant u\right\}

En particulier, si la fonction de répartition $F$ est continue et strictement croissante, alors elle est bijective et $Q = F -1$ est sa bijection réciproque.

Exemples[modifier | modifier le code]

Pour certaines lois, on sait inverser la fonction de répartition $F$ , comme le montre la liste suivante :


	Fonction de répartition $F$	Fonction de répartition inverse $F -1 (U)$
loi exponentielle de paramètre $λ$	$F(x)=\left\{{\begin{matrix}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&{\text{si}}\;x\geqslant 0\\0&{\text{si}}\;x<0\end{matrix}}\right.$	$-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-U)$
loi de Cauchy standard	$F(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan(x)+{\frac {1}{2}}$	$\tan(\pi U)$
loi logistique standard	$F(x)={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-x}}}$	$-\ln \left({\tfrac {U}{1-U}}\right)$
loi de Laplace	$F(x)=0,5(1+\mathrm {sgn} (x)[1-\mathrm {e} ^{-\|x\|}])$	$-\mathrm {sgn} (U)\ln(1-2\|U\|)$

Ainsi, par exemple, échantillonner une variable selon la loi exponentielle de paramètre $λ$ :

on tire un nombre $U$ uniformément sur $[0, 1]$
on calcule $-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U)$ .

A noter ici que, puisque $U$ suit la loi uniforme sur $[0, 1]$ si et seulement si $1 - U$ suit la loi uniforme sur $[0, 1]$ , on pourrait également utiliser $-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(U)$ . Toutefois, pour des raisons de précision numérique, on utilisera généralement $-{\tfrac {1}{\lambda }}\mathrm {log1p} (-U)$ , la fonction $\mathrm {log1p}$ qui à $x$ associe $ln(1 + x)$ étant implémentée dans de nombreux langages de programmation.

Calcul de l'inversion[modifier | modifier le code]

Dans le cas général, on ne sait pas inverser la fonction de répartition $F$ de façon analytique, c'est-à-dire qu'on ne dispose pas d'une formule explicite donnant, pour $u$ appartenant à $[0, 1]$ , $x$ tel que $F (x) = u$ . Il faut alors résoudre l'équation $F (x) = u$ numériquement, en utilisant au choix une fonction tabulée, la méthode de dichotomie, la méthode de la fausse position, la méthode de la sécante ou encore la méthode de Newton.

Implémentation[modifier | modifier le code]

La plupart des langages de programmation permettant de produire des nombres pseudo-aléatoires de distribution uniforme, il suffit de calculer l'antécédent des nombres tirés selon la fonction de répartition $F$ .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Aléatoire
Pseudo-aléatoire
Générateur de nombres aléatoires
Générateur de nombres pseudo-aléatoires
Méthode de rejet
Cette méthode est aussi importante sur le plan théorique. Voir en particulier le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Luc Devroye, Non-Uniform Random Variate Generation, New York, Springer-Verlag, 1986 (lire en ligne)