Moyenne identrique
La moyenne identrique de deux nombres réels positifs x , y est définie comme [1]:
Elle peut être dérivée du théorème des accroissements finis en considérant la sécante de la courbe de la fonction . La moyenne identrique est un cas particulier de la moyenne de Stolarsky, et, en tant que telle, peut être généralisée à davantage de variables par le théorème des valeurs intermédiaires pour les différences divisées (en).
Motivation[modifier | modifier le code]
On peut montrer simplement que la limite de la moyenne arithmétique des valeurs contenues dans un intervalle [a , b] est l'espérance mathématique de la fonction identité sur [a , b] : en effet, pour f continue sur un intervalle [a , b], on considère n + 1 points a = x0 < ... < xn = b. Alors :
En revanche, la limite de la moyenne géométrique des valeurs d'une fonction f continue positive sur un intervalle [a , b] est moins évidente : en posant
on a :
On en déduit :
Or :
On en déduit ainsi :
Comparaison[modifier | modifier le code]
Pour deux nombres positifs a et b, on a l'inégalité[2]:
où :
- H désigne la moyenne harmonique ;
- G désigne la moyenne géométrique ;
- L désigne la moyenne logarithmique ;
- P désigne la deuxième moyenne de Seiffert ;
- A désigne la moyenne arithmétique.
De même, si Mp désigne la moyenne d'ordre p, alors[2]:
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Références[modifier | modifier le code]
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Identric mean » (voir la liste des auteurs).
- Kendall C. Richards et Hilari C. Tiedeman, « A Note on weighted identric and logarithmic means », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 7, no 5, (lire en ligne [archive du ], consulté le )
- (en) Miao-Kun Wang, Zi-Kui Wang et Yu-Ming Chu, « An optimal double inequality between geometric and identric means », Applied Mathematics Letters, vol. 25, no 3, , p. 471-475 (DOI 10.1016/j.aml.2011.09.038)