Nombre puissant

{\begin{aligned}144\,000&=2^{7}\times 3^{2}\times 5^{3}\\&=2^{3}\times 2^{4}\times 3^{2}\times 5^{3}\\&=(2\times 5)^{3}\times (2^{2}\times 3)^{2}\end{aligned}}

144 000 est un nombre puissant. Tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à deux. Il est le produit d'un cube et d'un carré.

En mathématiques, un nombre puissant est un entier naturel m non nul tel que, pour chaque nombre premier p divisant m, p² divise aussi m ou, ce qui est équivalent, m est un carré^[1], un cube ou le produit d'un carré par un cube. Ces nombres ont été étudiés entre autres par Erdős, Szekeres et Golomb.

Les 26 premiers termes de cette suite d'entiers (suite A001694 de l'OEIS) sont :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256.

Équivalence des deux définitions[modifier | modifier le code]

Pour tout nombre premier p, notons k_p l'exposant (éventuellement nul) de p dans la décomposition en facteurs premiers de m. La première définition équivaut à :

aucun k_p n'est égal à 1

et la seconde à :

tous les k_p sont de la forme 2u_p + 3v_p avec u_p et v_p entiers naturels.

La seconde implique donc clairement la première. La réciproque se vérifie facilement en prenant v_p égal à 0 ou 1, selon la parité de k_p.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Décomposition[modifier | modifier le code]

La décomposition d'un nombre puissant en produit d'un cube et d'un carré n'est pas unique dès lors qu'une des puissances dans sa décomposition en facteurs premiers vaut 6 ou est supérieure ou égale à 8. En effet $p^{6}$ peut être lu comme le carré de $p^{3}$ ou le cube de $p^{2}$ .

Cependant, pour un nombre puissant ni cube, ni carré, la décomposition d'un nombre puissant sous la forme $a^{2}b^{3}$ , où $b$ est un entier sans facteur carré, est unique.

Répartition[modifier | modifier le code]

Il existe une infinité de nombres puissants mais aucun de la forme $2(2 n +1)$ (doubles d'un impair).

La somme des inverses des nombres puissants converge $\sum _{r{\text{ puissant}}}r^{-1}=\prod _{p{\text{ premier}}}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\cdot \zeta (3)}{\zeta (6)}}$ où $\zeta ()$ est la fonction zêta de Riemann^[2] ; voir la suite A082695 de l'OEIS.

Stabilité[modifier | modifier le code]

Le produit de deux nombres puissants est un nombre puissant^[3]; les éléments primitifs sont les carrés et cubes de nombres premiers.

Nombres puissants consécutifs[modifier | modifier le code]

Il existe une infinité de paires de nombres puissants consécutifs comme (8,9) ou (288,289). On peut en générer autant que l'on veut à l'aide d'une équation de Pell-Fermat^[4]. Si $(x,y)$ est solution de $x^{2}-2y^{2}=\pm 1$ alors $(A,\,B)$ où $A=8(xy)^{2}$ et $B=(x^{2}+2y^{2})^{2}$ est un couple de nombres puissants consécutifs. En 1970, on ne connaissait qu'un seul couple de nombres puissants consécutifs dont aucun n'est un carré^[3] : le couple $(23^{3},\,2^{3}\times 39^{2})$ .

Plus généralement, en 1982, Wayne L. McDaniel a démontré que tout nombre entier peut s'écrire d'une infinité de façons comme la différence de deux nombres puissants^[5].

Concernant une suite de trois nombres puissants consécutifs, il est conjecturé mais non encore démontré, qu'il n'en existerait pas^[6].

Une suite de quatre nombres puissants consécutifs ne peut pas exister car parmi 4 entiers consécutifs, l'un est nécessairement le double d'un nombre impair et ne peut donc pas être puissant^[4].

Références[modifier | modifier le code]

↑ dans ce texte, les carrés et cubes sont supposés différents de 1.
↑ Golomb 1970, p. 848;849.
↑ ^{a et b} Golomb 1970, p. 851.
↑ ^{a et b} Golomb 1970, p. 850.
↑ Wayne L. McDaniel, « Representations of Every Integer as the Difference of Powerful Numbers », Fibonacci Quartely, vol. 9, n^o 1,‎ février 1982 (lire en ligne)
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Powerful Number », sur MathWorld

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Solomon W. Golomb, « Powerful Numbers », The American Mathematical Monthly, vol. 77, n^o 8,‎ octobre 1970, p. 848-852 (JSTOR 2317020)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Powerful Number », sur MathWorld

Arithmétique et théorie des nombres

[1] s ce texte, les carrés et cubes sont supposés différents de 1.

[Golomb1970848;849-2] Golomb 1970, p. 848;849.

[Golomb1970851-3] {a et b} Golomb 1970, p. 851.

[Golomb1970850-4] {a et b} Golomb 1970, p. 850.

[5] Wayne L. McDaniel, « Representations of Every Integer as the Difference of Powerful Numbers », Fibonacci Quartely, vol. 9, n^o 1,‎ février 1982 (lire en ligne)

[6] (en) Eric W. Weisstein, « Powerful Number », sur MathWorld

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v · m Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation	Nombre premier Nombre composé Nombre puissant Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs	Nombre parfait Nombre presque parfait Nombre quasi parfait Nombre parfait multiple Nombre hémiparfait Nombre hyperparfait Nombre superparfait Nombre unitairement parfait Nombre semi-parfait Nombre semi-parfait primitif Nombre pratique Nombre abondant Nombre hautement abondant Nombre superabondant Nombre colossalement abondant Nombre déficient Nombre étrange Nombre intouchable
Nombreux diviseurs	Nombre hautement composé Nombre hautement composé supérieur
Autre	Nombres amicaux Nombre sociable Nombre solitaire Nombre sublime Nombre à moyenne harmonique entière Nombre frugal Nombre équidigital Nombre extravagant